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1、第十六章 非线性物理简介引子：英国的海岸线有多长浅谈分形理论1967年，美国科学家曼德尔布罗在科学杂志上发表了一篇文章，题目是“英国的海岸线有多长？统计自相似和分形维”。海岸线曲曲弯弯，包含了数不清的小湾和小半岛。如果一个巨人一步能跨一公里，他可以沿着海岸走，丈量出海岸线的一个长度。如果他一步只有五百米，他就会丈量出一个长一些的长度。如果是一个一步只有一米的人来丈量，他可以分辨出更多的细节，得到更长的长度。随着尺子变小，长度越来越长。那英国的海岸线到底有多长？这看起来平庸的问题却开创了一门新的学科分形几何学。分形一词是由拉丁文“fractus”转化而来，原意为不规则的、支离破碎的物体。1975
2、年，曼德尔布罗翻阅儿子拉丁语字典时得到启发，用该词创造出一个新英文单词“fractal”，用以描述他一直研究的各种不规则的几何体。1982年，他在大自然的断裂状物体几何中写道：“为什么几何给人的印象那么枯燥乏味？原因之一是它不能描绘出云彩、山峰或树的自然形状。因为云朵不是球面，山坡不是锥体，海岸不是圆形，树皮不光滑，闪电也不是直线。”那么隐藏在这些不规则形状之后的是什么呢？曼德尔布罗发现：“如果你仔细观察一棵树，就会发现它的每一部分都形似它的整体。”这样的例子在自然界里比比皆是：花菜、雪花、闪电、云彩、山峰、 肺、血管曼德尔布罗认为这种部分与整体的自相似性就是自然结构的基本特性，他在1986给
3、出定义“一分形乃以其某种方式使部分相似于整体的形状”。分形概念一经提出很快就越出数学的范畴。在物理学里，分形结构就有很多：一维准晶体，枝晶生长图样，聚合物生长，介电击穿形成的放电图样，逾渗模型里的集团结构，相变过程的临界行为，布朗运动，混沌系统里的奇异吸引子等等。20世纪90年代，美国宇宙学家林德甚至提出，真空场的起伏波，由于时空膨胀而冻结，成为新的时空膨胀点，从而使整个宇宙生长为一个分形时空树。现在分形的研究已成为非线性科学研究中的一个重要内容，并扩展到生态、生命、经济、人文等许多领域，在一些电子艺术中甚至出现奇异绚丽的分形视觉艺术作品，在计算机上也可以生成美丽如画的自然风光。著名的美国理论
4、物理学家、天文学家约翰惠勒曾表示：在过去，一个人如果不懂得“熵”是什么，就不能说是有良好的科学素养；在将来，一个人如果不熟悉分形，他就不能称作一个科学上的文化人。16-1 非线性系统非线性现象在自然界和人类社会中广泛存在，其背后的基本规律也如爱因斯坦所言：“真正的物理规律不可能是线性的”。但在20世纪以前，由于数学求解的困难，不得不将一些复杂问题线性化，而且一些实际线性问题如电磁波的传播也具有技术上的重要性，因而人们研究的兴趣主要集中于线性系统。随着计算机能力的迅速提高，为人们研究非线性系统提供了强有力工具，同时数学上也发展了一些求解非线性方程的新方法，如逆散射方法，从而使得非线性科学得到了迅
5、猛的发展，成为相对论、量子论之后的又一大物理学革命。非线性问题既广泛又复杂，迄今还没有形成统一的研究范式，本章只简单介绍一些非线性物理的基本概念和方法。一、非线性系统的主要特征长期以来，人们往往更多地关注线性问题，因而容易养成线性思维。“人多力量大”的说法就是这种思维的体现，但一个国家的力量并不完全正比于其人口数目。由人构成的社会组织、集团、国家是有其内部结构的，个体之间存在复杂的相互联系和相互作用，从而使得其整体性质和行为并不可以还原为个体的特征。一个系统的整体往往不能简单地等于部分之和，根本的原因就在于系统的各部分存在相互作用而使系统成为非线性系统。这是非线性系统的一个基本特征。从数学上讲
6、，“线性”和“非线性”首先用于区别函数对自变量的依赖关系。线性函数在直角坐标系里表示为一条直线，变量间的变化率是个常数。在直线上任何位置，自变量如果改变一点点，因变量也只改变一点点。任何对线性关系的偏离都是非线性的，即表现为曲线形式。图16-1给出了一个线性系统和一个非线性系统的输入-输出响应关系的示意图。对于非线性系统，同样大小的输入改变在其曲线不同位置引起的输出响应变化大不相同，这是非线性系统的一个显著特征。图16-1 线性系统和非线性系统的输入-输出响应关系对于一个线性系统，我们往往可以线性叠加原理来处理问题。以单摆为例，在小角度近似下其动力学方程表示为 （16-1）这是个线性方程，因为
7、方程的两个解和之和还是这个方程的解。这被称为线性叠加原理。但是这个原理对于非线性方程就失效了。理想单摆严格的动力学方程是个非线性微分方程 （16-2）因为可知其不满足叠加原理。在非线性系统中，叠加原理的失效可源于动力学方程本身的非线性，有些情况下也可能是由于边界条件的变动性。由于叠加原理不再适用于非线性系统，因而其讯号响应会发生频谱结构的变化。例如，对于一个线性电阻器件，电压和电流关系是线性的，即 假设输入信号I只包含两种频率交流信号， 电压也只包含同样的频率。然而，如果电压电流关系中出现了非线性项，例如 由三角函数关系可见，对于同样的交流输入，由于非线性的作用，不论其有多小(即)，电压中就会
8、有直流、倍频、和频和差频等新的频率成分。然而当非线性大到一定程度时，系统行为就可能发生突变，这时输出讯号中可能突然出现某些分频，如甚至。非线性系统往往在一系列参量阀值上发生突变，每次突变都伴随着某种新的分频成分，最终进入混浊状态。这是非线性系统中出现的重要现象。二、非线性系统的动力学方程非线性系统，就是指由一些相互联系、相互作用的组元构成的、具有非线性行为特征的集合。这些组元可以是粒子、个人、企业，甚至生产力和知识等较抽象的事物，它们可以形成不同的系统结构。系统的状态可用一些状态变量来表征，如单个粒子的坐标和动量，气体的体积、压强和温度等等。当系统处于非平衡态时，这类状态变量会随时间变化，此时
9、系统称为动力（或动态）系统。动力学就是研究动力系统中状态变量如何随时间变化（即系统的运动）的一个学科。动力系统状态变化的规律既可能表示为连续形式的微分方程或微分积分方程，也可能用关于状态变量的离散方程表示。对于一个动力学系统，假设在给定的时间内，系统状态由个连续变量的值定义，动力学演变规律可由个常微分方程 （16-3）表示。这个独立变量构成一个维状态空间内的向量，叫做状态向量，描述其运动变化规律的微分方程组称为动力学方程或运动方程。若动力学方程中显含时间，则系统称为非自治的；若不显含时间，系统就称为自治的。如果一个动力系统涉及到一元高阶常微分方程，那么从数学上来说，则可以把各阶导数当作新的变量
10、，从而使其变为多元的一阶常微分方程组。对于一个偏微分方程则可以看成是无穷维的常微分方程组。对于非自治方程组，则可把时间当成新的变量，令，并引入一新的方程，这样就变成自治方程方程组了。于是，可以把一阶自治微分方程组作为动力学方程的标准形式： （16-4）若把标准方程写成矢量形式，则为 （16-4a）式中是维欧几里得空间中的矢量（），其第方向的分量就是。也可把标准方程写成矩阵形式： （16-4b）从动力（学）方程的标准形式（16-4）容易看出其物理意义：每一方程表示动力系统每一状态变量随时间的变化率，而状态演变的变化率决定于以前的状态；这种形式的方程具有时间平移不变性，即方程形式不随时间变化，从而
11、表明系统动力学规律的不变性。下面我们来讨论一些具体的例子，一方面可体会到非线性系统的广泛性，另一方面也显示出动力学方程标准形式的一般性。1、非线性单摆对于小角度摆动的线性摆，在方程（16-1）中引入非线性阻尼，记q为x，我们可得到范德玻尔（Van der Pol）方程 （16-5）若把严格的单摆动力学方程（16-2）中的展开为级数并只对前两项，则可得 （16-6）这相当于取了一个双势阱模型，。进一步考虑阻尼作用，则变为杜芬（Duffing）方程的形式 （16-7）在周期外力力驱动下则变为 （16-8）2、非线性化学振荡在1958年至1964年间，苏联化学家贝洛索夫（Belousov）和扎博津斯
12、基（Zhabotinski）先后发现：在硫酸溶液中，以铈作催化剂，丙二酸为溴酸盐所氧化，在时间上会表现出还原和氧化状态的交替出现，若放在陪斯培养皿中反应，则出现美丽的空间有序结构（图16-2）。这个反应被称为B-Z反应，具体反应过程很复杂。普里高津-勒菲弗（Lefever）-尼科利斯（Nicolis）做了一个假想的基元反应模型，能够模拟该反应出现的复杂的分岔和混沌现象。图16-2 浅盘中B-Z反应呈现的螺旋状化学波假想基元反应如下： （16-9）以上反应的总效果是其中A、B和D、E是起始和最终产物，中间物X和Y可看作是催化剂。把各反应物的浓度以相应小写字母表示，假定各反应过程都不可逆，不计扩散
13、效应，并令上述反应的速率常数和都为1（相当于作无量纲化），则可得 （16-10）这个方程可解释B-Z反应的时间振荡，若进一步考虑扩散效应，在一定参数下，中间物在空间也是周期分布的，形式空间有序结构。3、非线性生态系统生态系统中一个相对简单的模型是人（虫）口模型。马尔萨斯（T.R.Malthas）曾在论人口原理中，分析了19世纪欧美一些地区的人口增长规律后得出结论说：“每25年增加一倍，即按几何级数增长”。如以25年为一代，把第n代的人口记为，则不难把这种“马尔萨斯人口论”写成数学形式 （16-11）这是简单的线性关系，其中是比例系数。容易看出，人口呈现为指数增长模式： 其中是开始计算的那一代人
14、口数，只要，很快就趋向无穷大，发生“人口爆炸”。由于生存空间的限制，人口的增长是有极限的。为了反映人口变化的实际情况，需要修正马尔萨斯的线性模型。事实上，随着人口的增多，相互间生存竞争的压力也会增加。战争，疾病，食物匮乏，水源紧张等都是人口减少的因数。假设人口减少的数目正比于，方程（16-11）可以修正为这个方程同时考虑了人口增长和减少两种因素，反映出“过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途。重新“标度”以上方程，例如取为新的变量，而以作为新的参量，并取最大人口数目为1，这样就得到一个抽象的，标准的人（虫）口方程 （16-12） 这个方程也被称为逻辑斯缔方程，其中的变化范围是0，1线段，而参量通常在0到4之间。这个看起来很简单的方程，却可以展现出丰富多彩的动力学行为。 三、相空间分析非线性系统的性质可以通过求解其动力学方程来加以了解，但大多数情形下难以得到解析解，只能借助于计算机求得数值解。这些计算结果可以在相空间
