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1、迎初赛苦练本领系列训练天天练007答案（2013年元月7日）姓名得分一、填空题（）037若，则函数的最小正周期是解：因为的周期为，的周期为，最小公倍数为，故的周期为038数列满足：，且，记的前项和为，则解：验算可知：，；该数列是周期数列，周期为9，即有；则039在小于20的正整数中，每次不重复地取出三个数，使它们的和能被3整除，则不同的取法种数为解：把这19个数按被3除所得的余数分为三类：类：3，6，9，12，15，18；类：2，5，8，11，14，17；类：1，4，7，10，13，16，19这样满足题设条件的取法有且只有四种情形：第一种情形，在类中任取三个数，有种取法；第二种情形，在类中任取
2、三个数，有种取法；第三种情形，在类中任取三个数，有种取法；第四种情形，在、类中各任取一个数，有种取法；（妙点之处）因此一共有：种不同的取法（一道高考压轴题的一部分，当年坑了多少有志而不爱竞赛数学的青年啊！）040对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是解：记，变式为：对一切恒成立分三类讨论，找三类同时满足的的取值范围，即为所求范围；（1）当时，对一切实数，满足题意；（2）当时，；设，下求在时的最大值；因为，所以在时，函数是增函数；所以，故；（3）当时，；设，下求在时的最小值；因为，所以在时，函数是减函数；在时，函数是增函数；所以，故；综上所述：的取值范围是（本题是经典常规题型，必须谙熟之）二
3、、解答题（）041设，求使为完全平方数的整数的值解：因为；（从极端考虑：配方法）所以，当时，是完全平方数；下证没有其它的整数满足要求：（此乃“正难则反”之思想）（1）当时，有；又有；则，因此有，故不是完全平方数；（2）当时，有；令；（此处若再用（1）法可以解出来，则不是竞赛题，“蹊跷”诶）则有：即；（整数的离散性质，此法亦是常用技巧）再平方：，即；按和，脱绝对值号分类解此不等式得：此不等式的解集为：，0，；验证可得：上述的取值均不能使为完全平方数；综合上述：只有当时是完全平方数042已知函数，试求在区间上的最大值解：当时，；设：；（下面讨论对称轴与已知区间的关系）（1）当时，则在区间上为增函数，且，（绝对值！）此时，；（2）当时，则在区间上为减函数，且，（绝对值！）此时，；（3）当时，则在区间上为减函数，在区间上为增函数，由，；可知；作平方差比较大小：；又因为，（为了避免这里有相等的情形，故前面的（1）（2）讨论时取等于）当时，即，所以；当时，即，所以；综合上述：4
