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1、 习题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r =R(costi+sintj)其中为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1）由r=R(costi+sintj)知x = R costy = R sint消去t可得轨道方程x2+y2=R22）v=ddtr= Rsinti+Rcostjv =(R sint)2+(R cost)212=R1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=4t2i+(3+2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t=0到t=1秒的位移；（3）t =0和t =1秒两时刻的速度。解：1）由r=4t2i+(3+2t)j可知x =
2、4t2y = 3 + 2t消去t得轨道方程为：x=(y3)2 / 2）v=ddrt=8ti+2jr =01 vdt=01(8ti +2 j)dt=4i +2 j3）v(0)=2jv(1)=8i +2 j1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=t2i+2tj，式中r的单位为m ，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：1）v=ddrt=2ti+2ja =ddvt=2i2）v=(2t)2+412=2(t2+1)12at=dv=2tdtt 2+1a =a 2 a 2=2ntt2+11-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花
3、板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y= vt +1 at 2（1）图1-41021gt 2y2= h + v0t（2）2y1= y2（3）解之t =2dg + a1-5. 一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的dr，dv，dv.dtdtdt解：（1）x = v0 t式（1）y = h 1 gt 2式（2）21 gt 2 ) jr(t)=v0t i +(h -2（2）联立式（1）、式（2）得y = h gx
4、22v02（3）dr= v0i- gtj而落地所用时间t =2hgdt所以dr= v0i-2gh jdv= gjdtdtv =v 2x+ v2y = v02+ (gt)2dv=g 2 t=g2ghdt v2+ (gt)212( v2+2gh) 12001-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得图1-6x2=h1而x= vtx2 x1h210所以，人影中头的运动方程为x2=h1 x1=h1tv0h1 h2h1h2人影中头的速度
5、v2=dx2=h1v0dth1 h21-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x=2+4t2t2(m)，在t从 0 秒到3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：v=dx= 44t若v = 0解的t =1sdtx1= x1 x0=(2+42)2=2mx3= x3x = (2 + 4 32 32)(2 + 42) = 8m1x =x1+x2= 10m1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h =20cm，斜面对水平的倾角=30o，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。图1-8解：小球落地时速度为v0=2gh一建立直角坐标系，以
6、小球第一次落地点为坐标原点如图vx0= v0cos 600x = v0cos 600 t +1 g cos 600 t 2（1）2v y 0= v0sin 600y = v0sin 600 t 1 g sin 600 t 2（2）2第二次落地时y=0t =2v0gx = v0cos 600 t +1g cos 600 t2=2v2= 0.8m所以02g1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm / s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2.解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g=R2现在赤道上物体
7、=3.4 102R=9.8=173.4 1021-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为 .试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度v=v0cos，顶点处切向加速度为0。因此有：g=v2=(vcos)2=v2cos200g在落地点速度为v0g cos=v2=v200g cos1-11. 飞机以v0=100m / s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h=98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x=v0th =1gt 22
8、x联立方程解得：x447m=arctan77.50h1-12. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去vA与水平面的夹角为；vB与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为v A=v0cosi +(v0singt) j vB=v0cosi +(v0sin- gt) jvBA= vB- v A=(v0cosv0cos)i +(v0sinv0sin) j与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0=49.0m / s，而气球以速度v =19.6m / s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为vy=v0gt故气球中的观察者测得物体的速度v=vyv代入时间t可以得到第二秒末物体速度v=9.8ms第三秒末物体速度v =0第四秒末物体速度v = 9.8ms1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a= kv，k为常数设从原点出发时速度为v0，求运动方程x=x(t).dvv 1tk t解：= kvv0dv =0kdtv = v0 edtvdx= v0ek t0x dx =0t v0 ek t dtdtx =vk0(1 ek
