平行线、角平分线联手演绎等角对等边

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1、平行线、角平分线联手演绎等角对等边平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题。二者联手演绎等角对等边，就是一个典型。例1、如图1所示，BE是ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DFBC,交BE于点F,请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF；证明：因为，BE是ABC的角平分线，所以，ABF=CBF,因为，DFBC,所以，DFB=CBF,所以，DFB=ABF所以，BD=DF(等角对等边)例2 如图2所示，BF是ABC的角平分线，过点F作DFBC,交BA于点D,请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF；证明：因为，BF是ABC的

2、角平分线，所以，ABF=CBF,因为，DFBC,所以，DFB=CBF,所以，DFB=ABF所以，BD=DF(等角对等边)例3、如图3所示，BF、CF是ABC的角平分线，过点F作DFBC,交BA于点D,交BC于点E,请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。分析：利用原题的结论，不难得到：BD=DF,CE=EF,而DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.解：猜想：DE=BD+CE.证明：因为，BF是ABC的角平分线，所以，ABF=CBF,因为，DFBC,所以，DFB=CBF,所以，DFB=ABF所以，BD=DF(等角对等边)同理可得：EF=CE,因为，DE=DF+EF,所以

3、，DE=BD+CE.例4、 如图4所示，BD是ABC的角平分线，ADBC,那么，ABD是等腰三角形吗？为什么？证明你的猜想。分析：根据我们对原题的剖析和结论，应该比较容易得到：AB=AD，根据等腰三角形的定义，知道ABD是等腰三角形。证明的过程读者可以自己完成。例5、如图5所示，BE是ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DFBC,交BE于点F,如果ABC=60，BF=6cm，求:三角形BDF的面积。 解：因为，BE是ABC的角平分线，所以，ABF=CBF,因为，DFBC,所以，DFB=CBF,所以，DFB=ABF所以，BD=DF(等角对等边)，所以，BDF是等腰三角形,如图6，过点D作DG

4、BF，垂足为G，根据等腰三角形三线合一的性质，得：BG=GF,因为，BF=6cm，所以，BG=GF=3cm,因为，ABC=60，所以，DBF=30，在直角三角形BDG中，设DG=xcm，则BD=2xcm，根据勾股定理，得：（2x）2-x2=32=9，解得，x=，所以，三角形BDF的面积为：=3（cm）2。例6、如图7所示，点P是AOB的角平分线上的一点，过点P作PCOA,交OB于点C,如果AOB=60，OC=4cm，点P到OA的距离PD为 。分析：因为OP平分AOB，AOB=60，所以，AOP =POB =30，因为，PCOA,得：AOP =OPC =30，所以，PC=OC=4，PCB=POB +OPC =60，点P是AOB的角平分线上的一点，PDOA，过点P作PEOB，则PE=PD,在直角三角形PCE中，PCE=60，所以，CPE=30，所以，CE=2,根据勾股定理得：PE=2,所以，点P到OA的距离PD为2。