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1、重点划分：1绪论一、重点误差分析：对于数据的误差分析（考大题，翻一翻以往试卷的和书上的例题）， 要点：1、根据有效数字的位数写出正确的误差限，也就是说真正弄懂有效数字和误差限的 关系真正弄懂；2、写误差分析的时候要默认不知道正负，一定要带上绝对值，利用三角不 等式进行运算。3、计算器按对了，不要按错正余弦的值。二、可能会考的，次重点：分析一个算法的稳定性。课后作业有例子，上课又讲。三、最细致末梢的东西：秦九韶公式扩大算法，扩大算法不会考求导，最多要求求值（最 难上升为牛顿差值多项式的那种做法，提公共因子的时候，有可能是不同的）2非线性方程的解法一、判断一下或者分析一下某个方程在某个地方有几个根
2、，二、写出一个收敛格式判断它的收敛性，我们不用严格按照书上的定理，我们只需要讨 论f（x*）或者f（x）的导数值在区间里面到导数值是否关于1的关系就行了，不用验 证压缩条件什么的，只看导数值，导数值越大，收敛速度越快，越接近1，收敛速 度越慢，大于1不收敛。接下来在算一下，在没有指定方法的时候，我们优先使用 newton法，考试时5,6次精度就可以了，如果算了 5、6次还是乱七八糟的，有两 种可能：1、公式本身错了 ； 2、初值选错了 ；（注意写公式的时候newton法写正 确，不能一边是函数一边是数列）三、次重点：1、重根（作业题里面有个重根修正），在重根情况下，牛顿法会失效的， 它会变成线
3、性收敛。多一个m就把一阶收敛变成二阶收敛了。四、最末的重点：大范围收敛（不排除会考，应对策略：做一道题，考前背一下），不 要使用二分法了。关注的证明，大范围收敛及其修正。3线性代数方程组数值解法（3个考点，选两个考）一、列主元高斯消去不带LU分解（LU分解不考），只考列主元，做两道题掌握解题过 程写完整即可。二、会算矩阵、向量的范数和1条件数、无穷范数和2范数（向量的太简单了，关键是 矩阵的）三、简单迭代法，迭代法有个终极公式x（k+1）=Bx（k）+f （不管是什么格式，例如Guass、 SOR等等，都可以整理为这个公式），接下来有两件事情：1、B的某一范数小于1， 则一定收敛，如果范数不好
4、求，就算一算p的谱半径，如果谱半径小于1也是收敛 的Jaccobi和Guass-Seilde格式虽然不会单独列，但要会写，例如出一道题：请 写出线性方程的Jaccobi和Guass-Seilde格式，然后判断收敛性。SOR不要求会 写，但是要求会判别，SOR的东西不用书上的结论去证明，就用我给出的东西，硬 生生的整理出这个结构（也就是左边全是k+1,右边全是k的）4多项式插值与函数最佳逼近（2个考点，一个插值，一个逼近，肯定都会考）一、 插值，考Hermite插值，不是真正的Hermite型，准确的来说是带导数的插值 （作业题留了好几道，一般思路是找一个多项式，然后减一减，然后用我们习惯的 因
5、式分解，另一个可行的方法：先对二阶函数求导积分一次得到一阶，也就把样条 函数的东西弄过来）；第二种类型：除了 Hermite那种直接求的方法，不直接考样 条函数，但我可以考分段插值，虽然上课只讲了分段线性，分段Hermite和样条， 可是可以随意组合，把个一次和 二次函数放一起，一段一次，一段二次，然 后变成某种东西（分段函数表达式？），可以当成高数题来做。对于三次样条函数仅限于理解三次样条函数的概念，例如我出一个函数，我问 你什么时候这个函数是三次样条（作答从概念上回答：在那个区间上是多项式，二 阶光滑可导，就到这为止），弄明白思想：二阶导数求一阶导数这个，1/3矩阵这个 就不用看了。重点在
6、于分段的插值以及带导数的插值上面。如果基本的拉格朗日插值和牛顿 插值不会，这样会有一些问题，我们还是要用一张纸写一下两类：最佳一致逼近、最佳平方逼近。最佳一致逼近：两种说法。上课举了两个例题，要么直接问，要么换种方法问。去 年有个地方考的时候，还弄了一个第三种说法，（max最大误差最小）例如：证明 它的最大误差大于等于1/15,那么证明方法就是：其实就是最佳一致逼近，求出它 的最大误差是1/15就行了。最佳平方逼近：稍微复杂一点。会分为离散的最佳平方逼近和连续的最佳平方逼近。 最佳平方逼近的基本要求是：一、是线性的，只有是线性的才有最佳平方逼近。二、 找出正确的积函数，在最佳平方逼近里面积函数
7、是可以跳跃的，题目会指定，再有 就是把作业题上面的类型做一做基本就可以了。5数值积分与数值微分（两大块）一、第一大块：叫做代数精度，我们会让你们去算某一个东西的代数精度是多少，或者 给你一个参数，把参数求出来，什么时候代数精度最高。二、第二大块就是写一写它的截断误差，回去后研究一下Simpson公式的截断误差以 及我们上课我们举的一个例子，什么 还是宇的那个，问它的截断误差是多少？ 怎么求的？这是第一种套路。（确定一下代数精度，然后参数是多少？求截断误差）。 第二种套路复化梯形公式的所有内容全部知道，也就是复化梯形公式的基本公式、 递归公式、向前误差分析、向后误差分析（包括推导过程）都要知道，
8、这是一个。接下来还有复化Simpson和Romberg，其实你会了 Romberg,你就会复化 Simpson 了，如果直接考复化Simpson你也得会，如果光靠Simpson没有梯形公 式过渡就硬算，（复化的含义就是划成一个一小区间，利用Simpson公式后复化 一下硬算就可以了）。还有一个点：复化高斯，高斯公式比较自由，他可以和代数精度连在一块（就 是第一种类型的），它也可以和复化连在一块，上课时候讲了复化型的高斯公式， 会那个变形，什公二年+普唯勺那个。6常微分方程数值解法（三块）简答来说，第一块：改进欧拉公式的套路，改进欧拉公式有两种证法（1、利用梯形公 式做的，就是先凑出一个梯形公式
9、，然后再多出来的那一项直接再用其他方法做的；2、上 课着重讲的方法，就是偏导数的方案，把这个搞懂，那么接下来的Runge-Kutta也搞懂了； 3、多步法，分成两个小块，第一个Adams公式，如果出了一个像作业题那样推得，你得会 写，不能背，背不住的，把课后题类型的第十题那样的推一下）；第二块的是泰勒展开型的， 它就更简单了，几乎就是套路，留在这种程度就可以了。7偏微分方程数值解法通用要求是对抛物线、双曲型包括椭圆形的基本要求全都有；抛物线的四个证明都要会，课堂上写了三个，最后一个作业题(也就是古典显式格式的 收敛性和稳定性和隐式格式的收敛性和稳定性，这里面复杂的部分要知道:Crank-Nicolson 格式在古典显式的时候怎么建立的)；双曲型的难点：隐式格式的建立还有就是矩阵的向量形式也要会写考试的时候出的方程不一定是标准的方程，例如抛物型是偏u偏t-a偏平方u偏x方，那我 也可以加上一偏u偏X，我写的方程可以是u偏t+u偏x+u偏xx=什么什么，建立格式的 时候，这个二阶偏导数的误差是O(h2)，如果你用向前差商或者向后差商离散呢，则是O(h), 所以它是不匹配的，考试的时候这个地方作业题上可能选择中心差商，做几道题就可以了， 里面复杂的证明统统不用管。我们要会的是推到格式，会矩阵写向量格式形式，会计算。具 体的问题你做几道题
