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1、第三章 三角恒等变换 一、和角公式sin(a + 卩)=sin a cos卩 + cos a sin 卩sin（a -卩）=sin a cos 卩-cos a sin 卩cos (a卩）=cos a cos 卩- sin a sincosP）cos a cos P+ sin a sin Ptan (a + P)=(tan a + tan P = tan (a + P)(l- tan a tan P )1 - tan a tan Ptan (a_P)=(tan a - tan P = tan (a - P )(1 + tan a tan P )l + tan a tan P二、二倍角公式sin
2、2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a -sin2a = 2cos2a -1=1- 2sin2acos 2a + 11 - cos 2acos 2 a =, sin 2 a =222 tan atan 2a =1 - tan 2 a经典例题：例 、cos12 cos18 一 sin 12 sin 18 =解：原式=cos(12 + 18 )=cos 30 =2例二、sin12cos兀1兀= 2 sin厂兀兀、sinx -cosx122122丿(123丿12解：原式 = 2(1兀冗=一 2 sin4例三、若 tan则 tan冗、tan a + 一 4丿tan冗+ ta
3、n 一4冗1 一 tan a tan 1+ 121一 x 1解：tana + 一= tan(a + 卩)-1-叫14丿(4丿/tan (a + B ) - tanc兀）卩一、4丿2 15431 + tan (a + B )Dtan（兀、卩一4,1! 2 1221 + x 丿丿54例四、tan (a + B )=2 ,tan(B -兀、=丄，贝tan（冗）a + 一54 /414丿(兀1兀(兀1(兀1+ 3 x= cos一一 3 x= sin一 3 x 6丿2 3丿 3丿例六、求值： tan22+ tan 38 +tan 22tan 38解：tan 22 + tan38=tan+ 38 )(1
4、-tan22 x tan 38 tan 22 x tan38例五、计算： sin（兀1-3 xcos（兀1- 3 x一 cos(冗1+ 3 xsin(冗1+ 3 x 4丿 3丿 6丿 4丿解：原式中的 cos(兀1兀(兀1(兀1一 3 x= sin一+ 3 x= cos+ 3 x 4丿2 4丿 4丿sin(冗1（兀1（兀1(冗1cos+ 3 xcos-3 x一 sin-3 xsin+ 3 x 4丿 3丿 3丿 4丿故原式可化简为：(冗1（冗）（冗冗、+ 3 x+一 3 x= cos一 + 一 4丿 3丿43丿cos兀兀兀兀=cos cos 一 sin 一 sin 4343V2 一 V64故原式
5、=丫3例七、求值（1）兀sin 2 =122）sin 4 一 cos 483）1 一 tan 2 75 4）tan15 + cot15tan 75 解：（1）原式=2）原式 =1 一 2 sinsin兀212 丿兀2 + cos 2 cos =2cos兀4兀2 - sin 2 一厂兀cos 2 一 sin 2 I8兀cos 42(3)原式=tan 75 2 tan 75 tan 150 1 一 tan 2 75 1 一 tan 2 75 (4)原式=sin 15 cosl5+cos15 sin 15sin 215 + cos 215 sin 15 cos15 22 sin 15 cos152s
6、in 30 例八、化简:1 一 sin 30解：原式= 1 2 sin 15 cos15 = n sin 215 + cos 215 2 sin 15 cos15 = J(sin 15 一 cos15 = sin 15 cos15 由于 sin 15 cos15 0，故上式可化简为 - (sin 15 cos15 ) = cos15 sin 15 例九、已知cos 0 =0 e , 0，求 sin 20 , cos 20 , tan 20 I 2丿，得 sin 05cc c3(4 24sin 20 = 2 sin 0 cos 0 = 2 x x5 5丿25187cos 20 = 2 cos 2
7、 0 1 = 1 =2525兀、解：由于0 e -,0，故0为第四象限角；又cos 0I 2丿83241671 一92 tan 0tan 20 =1 tan 2 0( -)1，则 cos 2( -)a + =，a + 13丿313丿例十、若 sin-1解：令卩=a + ，原式可化简为sin卩=33故 cos 2 卩=1 一 2 sin 2 卩例十, a 已矢知 sin + cos2那么sin a = 解：将已知条件两边完全平方，( aa 2得至U sin 一 + cos 23进一步化简得到 sin 2+ cos 2 + 2 sin cos2即 1 + sin a = sin a3例十二、化简下
8、列各式：cos 2 x + sin1) y =x cos；(2) y = sin x + cos x(3) y = 2*3 sin x cos x+ 2 cos 2 x 一 1 ；(4) y =cosxx + 2 3 sin x )一 sin 2 xcos 2 x +解：(1) ysin x cos x1 + cos 2x原式=1+ sin212 x = sin 2 x x +2cos22+2原式=sin x x+ cos2x x 2丿丿sin兀、+ 一4丿(3 ) y = 21V31 1冗)2x+cos 2x= 2sin 2 x x+ cos 2 x x = 2 sin2 x + ( 22丿
9、1 6丿sin x cos x + 2 cos 2 x 一 1x原式=丫3 sinx + 2*3 sin x )一 sin 2 x4) y = cos原式 = cos 2 x一 sin 2 x + 2sin x cos x =sin 2 x + cos 2 x = 2 sin 2 x + sin2) y = sin x + cos x2例十三、已知函数f (x) =sin x cos x J3 sin 2 x +(1)求f (x)的最小正周期及f I 112丿(2)求函数f (x)在一巴,-的值域;_4 4 _3) 求函数的单调区间；4) 求函数的对称轴及对称中心解：f (x ) sin x cos x 冷3 sin 2 x +21 1一 cos 2xsin 2 x 一 +22sin12 x x + cos2sin1 )()2 sin+ 一sin 1 ;T 112丿163丿221)兀2)x兀 -兀根据题意得到-巴由图可知，丄22 x + 注意：一定要画图，写出各位置的函数值)sin故值域为1_,12单调递增区间：兀+ 2 k兀(整体法求解)212冗k冗，+ k冗12单调递减区间：冗+ k 冗，+ k 冗1212对称轴：2 x + 3对称中心：2 x +k兀，对称中心为/ k_+一 ,0
