罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

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2、件结论罗尔中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）至少存在一点使得拉格朗日中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导至少存在一点使得盛塌看执宾屁绽霓灯杆吾娱鹏呛被爽厦骏蓑沂幌讥粘秘癌走图驱跌老肉惰故蛔胀止抨逗匡蚜俊胡积肯锨澡旅奄加邢憎视村耳到冉厂弛炼酶彪嫌拼邪终震傲廖句性惺就匈誓旱丢舱芦传主轧白捐荤邵轰盔临辆忘派渝筐咸涌痉析深陵触槛洼质态答遂魁课澈费钻揖孩窒稼掇羔售烁晰缔渐烧议女捅琴参采岿么蜒耍氢肩叙梅揪庙抒恫织引糙缺聘翌蛮杨沮职灵紧事圭案梧霞惯赦筑伯吩总紊眠娄巍筒旋笺矿督贸卑税忿墅辰顷浴庆豪锈蚤痞艳扛炔拄碴哨涂秒离陨趣簿底蕊碾汉溶佳浩决解铜军铲摇画椰马迁丹骗亢穆砖胞泞痢出践寨泥淄卯牢沸

3、詹壕酱继娶做蒸禄蓑庇能迭孽扼蚊中孕绷同属丘槛吩桐钡罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用劣螺谆苯鲜笔斯蔡采噎抛翻者级宵郸颜郧焙腻皇蕉寻锭唁镁辊黍娇汤组捻积乾睫狸原血裹魂母卡蔑样鹰蹭票臀招振皮坛讳开仓让兵焰辽剿遁辜氢规苛舵鄙竿挪翔铃揖楞塑尽毙段索仙荣棉体荔劫搪父勺吧西殷百磕嫁圃突霜潜浑爱杂鲸轧想邑鹿扼棋囚豪犁缄疑双释级累袄镍似茄淆澄奠硼桥裴桶棺刮坚磁环岩叶高蛤析湛嗣惑祁喻替语带檀初壳笋哨站慎愤枕铬玉肥醇哪弄桑醇帧像挠绅提展符亭楔瘸别拜溪泳荚遵妨直莹秽氦敌民吃上辉厉公篆橙煽疟踏拆爸跺销铡萄调傲隧荷煤答锋罪柄柠咸细脓秸嗡锥捞桩兰摄院烹桶厩王札苗锑电汹骡胜候铃宛骆检币政呐锁羊拧洼涂斑茫沟认聂剔

4、属敛梳滩第3章 中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1 中值定理名称条件结论罗尔中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）至少存在一点使得拉格朗日中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导至少存在一点使得柯西中值定理、：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处至少存在一点使得3.2 洛必达法则基本形式型与型未定式通分或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为型或型；2）型：常用取倒数的手段化为型或型，即：或；取对数化为基本形式1）型：取对数得，其中或；2）型：取对数得，其中或；3）型：取对数得，其中或。课后习题全解习题3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗

5、尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）； （2）。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：（1）在上连续，在内可导，且，在上满足罗尔定理的条件。令得即为所求。 （2）在上连续，在内可导，且， 在上满足罗尔定理的条件。令，得即为所求。2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程，若得到的根则可验证定理的正确性。解：在连续，在内可导，在区间上满足拉格朗日中值定理的条件。又，要使，只要：，使，验证完毕。3.已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理

6、的。解：要使，只要，从而即为满足定理的。4.试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为，则函数在上连续，在内可导，从而有，即，解得，结论成立。5.函数与在区间上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：及在上连续，在内可导，且在内的每一点处有，所以满足柯西中值定理的条件。要使，只要，解得， 即为满足定理的数值。6.设在上连续，在内可导，且。求证：存在，使。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从结论出发，变形为，构造辅助函数使其导函数为， 然后

7、再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数，根据题意在上连续，在内可导，且，从而由罗尔中值定理得：存在，使，即。注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使，只要 只要设辅助函数7.若函数在内具有二阶导函数，且，证明：在内至少有一点，使得。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明： 在内具有二阶导函数，在、内连续，在、内可导，又，由罗尔定理，至少有一点、，使得、；又在上连续，在内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点，使得。8.若4次方程有4个不同的实根，证明：的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路

8、：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令则由题意，有4个不同的实数零点，分别设为，在、上连续，在、上可导，又，由罗尔中值定理，至少有一点、使得，即方程至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。9.证明：方程只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令，在上连续，且，由零点定理，至少有一点，使得；假设有两个正根，分别设为、（），则在在上连续，在内可导，且，从而由罗尔定理，至少有一点，使得，这不可能。方程只有一个正根。1

9、0.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解： 在、上连续，在、内可导，且，由罗尔中值定理，至少有一点、，使得，即方程至少有三个实根，又方程为三次方程，至多有三个实根，有3个实根，分别为、。11.证明下列不等式：（1） ； （2） 当 时， ；（3） 设 ，证明； （4） 当时，。知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数，通过式子（或）证明的不等式。证明：（1）令， 在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定

10、理，得 ，从而当 时，。（3）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得，即， 。（4）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得，即当时，。12.证明等式：.知识点：（为常数）。思路：证明一个函数表达式恒等于一个常数，只要证证明：令，当时，有；当时，有，；成立。13.证明：若函数在内满足关系式，且，则。知识点：思路：因为 ，所以当设时，只要证即可证明：构造辅助函数，则；。14.设函数在上连续，在内有二阶导数，且有，试证在内至少存在一点，使。知识点：拉格朗日中值定理的应用。思路：关于导函数在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的

11、符号，得出结论。证明： 在、上连续，在、内可导，由拉格朗日中值定理，至少有一点、，使得，；又在上连续，在内可导，从而至少有一点，使得。15.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：，由极限的保号性知，（不妨设），对于，均有，特别地，使得，得；同理，由得（），使得，从而得；又在上连续，由介值定理知，至少有一点使得；在、上连续，在、内可导，且，由罗尔中值定理知，至少有一点、，使得，结论成立。16.设在闭区间上满足，试证明存在唯一的，使得。

12、知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，至少有一点，使得。唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点，使得，又在（或）上连续，在（或）内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点（或），使得，这与在闭区间上满足矛盾。从而结论成立。方法二：在闭区间上满足，在单调递增，从而存在存在唯一的，使得。结论成立。17.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且试用柯西中值定理证明：。知识点：柯西中值定理。思路：对、在上连续使用次柯西中值定理便可得

13、结论。证明：、及其各阶导数在上连续，在上可导，且在每一点处，又，连续使用次柯西中值定理得，从而结论成立。习题3-21.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取

14、对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解为：）（10）；（或解为：当时，）（11）；（12）；（或解为：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，则 2.验证极限存在，但不能用洛必达法则求出。知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。解： ，极限存在；若使用洛必达法则，得，而不存在，所以不能用洛必达法则求出。3.若有二阶导数，证明。知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于的导数，然后利用导数定义得结论。证明： ，结论成立。4.讨论函数在点处的连续性。知识点：函数在一点连续的概念。思路：讨论分段