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1、1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1无穷小量的定义定义：如果x x0 （或x ）时, 函数f (x) 的极限为零 ,那么把f (x) 叫做当x x0（或x ）时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为，所以函数x-1是x1时的无穷小。因为，所以函数是当x1时的无穷小。因为，所以函数是当x时的无穷小。以零为极限的数列xn，称为当n时的无穷小， 都是n时的无穷小。注：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在xx0（或x）时，极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在xx0（或x）时，
2、极限是零。2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。例1求解：，是有界函数， 而有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。03函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。4无穷小的比较例：当x0时，x, 3x， x2, sinx, 都是无穷小。观察各极限： x2比3x要快得多 s
3、inx 与x大致相同 sinx比x2慢的多 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。得到以下结论：设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小如果0，则称是比高阶的无穷小如果，则称是比低阶的无穷小如果k（k0），则称与是同阶的无穷小如果1，则称与是等价无穷小，记为。例2比较当x0时，无穷小与x2阶数的高低。解：因为所以 x2例3当x1时，无穷小1x与1-x3是否同阶，是否等价？解：故同阶但不等价。常用的等价无穷小：当x0时，sinx x ； arcsinx x ； tanx x ；arctanx x ； 1-cosx ，ln(1+x)x ; ex-1x ；(1+x)a1-a
4、x1.4.2无穷大1无穷大量的定义如果当x x0 （或x ）时, 函数f (x) 的绝对值无限增大,那么函数f (x) 叫做当x x0（或x ）时的无穷大量，简称无穷大。注：说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数是当x 0 时的无穷大，当x 时，它就不是无穷大，而是无穷小了。不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在xx0(或x)时极限为常数本身，并不是无穷大。2无穷小与无穷大的关系定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则为无穷大。例4求解：当x1时，分母x2-5x+40，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x
5、)的倒数的极限由无穷大与无穷小的关系可得15函数的连续性1.5.1函数连续性的概念1函数的增量定义：在函数y=f (x)中，当x由x0（初值）变化到x1（终值）时，终值与初值之差x1-x0叫做自变量的增量（或改变量），记为x= x1-x0.相应的，函数终值f (x)与初值 f (x0)之差y，叫做函数的增量。注意：增量x可正、可负；增量y可正、可负或为零。2函数y=f (x) 在x0的连续性先观察两个函数的图像的特点当x0时，y0。 当x0时，y不趋向于零。定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量x趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量也趋近于零，那么就叫
6、做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是或定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即那么就称函数f(x)在点x0处连续。函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件：函数f(x)在点x0及其左右近旁有定义；存在；例5 试证函数，在x0处连续。证明：函数在x0及其左右近旁有定义 f(0)=0 函数在x0处连续。3函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数在区间(a，b内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点b左连续。设函数在区间a，b）内有定义，如果左极限存在且等于，即，就说函数在点a
7、右连续。定理：函数在点x0处连续在点x0处既左连续又右连续在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4复合函数的连续性设函数在点处连续，函数在点处连续，且，则复合函数在点处连续，即例6 求解：原式可以推出：当时，152函数的间断点 函数在点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称在点不连续（或间断），并称点为的不连续点或者间断点。间断点的分类：第一类间断点：，但，或者无意义。不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。1.5.3 闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大
8、值和最小值。注意：若区间是开区间，定理不一定成立。若区间内有间断点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质2 如果函数在上连续，且0，那么至少存在一点(a,b)，使得。对于方程0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根，又称为函数的零点。例7 证明方程在区间（0，1）内至少有一个根。证明：设，在上是连续的，又因为10 20根据性质2，至少存在一点（0，1），使即 从而证得方程在区间（0，1）内至少有一个根。判断命题是否正确：如果函数在上有定义，在(a,b)内连续，且0，那么 在(a,b)内必有零点。解答：不正确。例如函数在（0，1）内连续，2e0，但在（0，1）内无零点。
