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1、 数列的通项与求和一、知识梳理： 求数列通项公式的常见题型与方法：1由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。2利用“归纳猜想证明”的方法求通项。3 利用与的关系：，求通项。4根据数列的递推公式求数列的通项公式，其中常用方法有： （1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等），从而求出数列的通项公式的方法。这是一种较常用的方法。（2）累加法、累乘法.数列求和的常见方法有： 1、 公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式 、， ， ， 等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn2、分组求和法：在直接运用公
2、式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）；注：并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如类型，可采用两项合并求解。 3、倒序相加法：如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式） 4、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位
3、相减法。特征：所给数列a，其中a=cnbn而cn是一个等差数列，且bn则是一个等比数列。（“等比数列”的求和） 5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。常见的拆项公式： = -； = ( -); = ( -)(其中an是一个公差为d的等差数列； = ( - )； ； 一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列an的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a10等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3
4、=2102-310-(232-33)=161.2.数列an的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（ ）A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+()=-1,由Sn=10,故n=120.3.数列an的通项公式为an=4n-1,令bn=,则数列bn的前n项和为（ ）A.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】an=4n-1,数列an是等差数列，且a1=4-1=3,bn=2n+1.显然数列bn是等差数列，且b1=2+1=3，它的前n项和Sn=b1+b2+bn=n(n+2).4.数列1，（1+2），（
5、1+2+22），（1+2+22+2n-1）,的前n项和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.5.数列1，的前n项和等于( )A.Sn=3- B.Sn=3-1-C.Sn=3- D.Sn=3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+, 则Sn=+. -得Sn=1+=1+=.Sn=3-,故选A.或者用特殊法.6.Sn=1+等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】an=,Sn=2(1-)+(-)+()=2(1-)=.7.(2010全国大联考，10)已知数列an满足an=则an的前2k-1项的和为( )
6、A.k2-k+1- B.k2+k+1-C. D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,S15+S22-S31=-76.9.(2010湖北八校模拟，14)数列an中，Sn是前n项和，若a1=1,an+1=Sn(n1),则an=_.【答案】an=【解析】an+
7、1=Sn, an=Sn-1. -得an+1-an=an,(n2).a2=S1=1=,当n2时，an=()n-2.an=10.数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an,则an=_.【答案】(nN*)【解析】a1+a2+an=n2an a1+a2+an+an+1=(n+1)2an+1. -得an+1=(n+1)2an+1-n2an,.an=a1.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.求a+2a2+3a3+nan.【解析】设S=a+2a2+3a3+nan.若a=0,则S=0；若a=1,则S=;若a0,且a1,则S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(
8、n-1)an+na n+1 -得（1-a）S=a+a2+an-nan+1=-nan+1.S=.12.(2010湖北黄冈中学模拟，17)已知等比数列an中，a1=64,公比q1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求an;(2)设bn=log2an,求数列|bn|的前n项和Tn.【解析】（1）依题意有a2-a4=3(a3-a4)，即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即2q2-3q+1=0.q1,q=.故an=64()n-1,(2)bn=log264()n-1=log227-n=7-n，|bn|=n7时，Tn=;n7时，Tn=T7+=21+
9、，故Tn=13.(2010中科大附中模拟，19)等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;(1)求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=,求数列bn的前99项的和.【解析】(1)设数列an公差为d(d0),a1,a3,a9成等比数列,a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d. d0,a1=d.Sn=a52,5a1+d=(a1+4d)2. 由得：a1= d=,an=+(n-1)=n.bn=.b1+b2+b3+b99=99+(1-)+(-)+()=(100-)=.14.设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的nN*,都有
10、Sn=2an-3n,(1)求数列an的首项与递推关系式an+1=f(an);(2)先阅读下面定理，若数列an有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数，且A1,B0,则数列an-是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列an的通项公式;(3)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1).an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故an+1=f(an)=2an+3.(2)an+1+3=2(an+3),an+3为等比数列，首项为a1+3=6,公比为2，故an+3=62n-1=32n.an=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.
