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1、运筹学难点辅导材料整数规划补例1、对（IP）整数规划问题，问用先解相应的线性规划然后凑整的办法能否求到最优整数解？再用分支定界法求解。解 先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题LP）用图解法求出最优解且。如用“舍入取整法”凑整可得到四个点，即（1，3）、（2，3）、（1，4）、（2，4）。代入约束条件发现他们都不是可行解。可将可行域内的所有整数点一一列举（完全枚举法），本例中（2，2）、（3，1）点为最大值。令及最优值。可行域记为D，显然不是整数解。定界：取，再用视察法找一个整数可行解及，取，即分支：（关键点，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量，其值为，构造两个约束条件，
2、这里用了取整函数呵！）任取最优解中一个不为整数的变量值，例如，根据，构造两个约束条件，形成下面两个子问题（IP1）和（IP2）解（IP1）和（IP2），得最优解分别为和，这两个都不是符合整数条件的可行解。修改上下界：根据个分支的最优解，可取新的上界，再分支：由于，故先对（IP2）进行分支，取，根据，构造两个约束条件，形成下面两个子问题（IP3）和（IP4）。解相应的松弛问题（IP3）和（IP4），得（IP4）无可行解，（IP3）的最优解为。在考虑（IP1），由（IP1）的最优解，取，根据，构造两个约束条件，形成下面两个子问题（IP5）和（IP6），得（IP6）无可行解，（IP5）的最优解为。在
3、修改上下界：根据上述两个最优解的情况，有再分支：由（IP3）的最优解，取，根据，构造两个约束条件，形成下面两个子问题（IP7）和（IP8），得（IP7）的最优解为，（IP8）的最优解为。重新定界：由于的最优解为为整数解，且，故2、对整数规划问题，问用先解相应的线性规划然后凑整的办法能否求到最优整数解？解 用单纯形法解对应的LP问题，求到最优解当凑为时，为可行解，；当凑为时，为非可行解；当凑为时，为非可行解；当凑为时，为非可行解；下面用分支定界法来解整数规划问题。令，显然为可行解，从而。将原问题分解为下面两个子问题（用分支，复杂些，不妨去试试！）（IP1）和（IP2）（IP1）的最优解为和（IP
4、2）的为因为，所以，且为整数，则为最优解。3、用割平面法求解解 引入松弛变量和人工变量及一个充分大的数，先解一个大问题：作初始单纯形表，并进行迭代运算3-1000CB基XB常数033 *-2100010540-10105210010，检.0000311 -2/31/30005022/3 *-5/3-1010307/3-2/3010，检0000316/111 02/11-1/1101/11-115/2201 -5/22-3/2203/22031/2200-3/227/22 *1-7/22，检00-17/220313/71 01/702/70-19/701 -2/703/70031/700-3/7
5、122/7-1，检00-3/70略去人工变量，得最终单纯形表3-1000CB基XB常数313/71 01/702/7-19/701 -2/703/7031/700-3/7122/7检00-5/7-3/7再略去松弛变量，最优解为，显然不是整数规划的最优解。引进以行为源行的割平面，即，再将变形代入得（该割平面确实割去了松弛问题最优解为，但未割去原问题的任一整数可行点。）引入松弛变量，化为写入上表，得3-10000CB基XB常数313/71 01/702/70-19/701 -2/703/70031/700-3/7122/700-6/700-1/70-2/7 *1，检00-5/70-3/70311
6、00001-1001 -1/2003/20-500-2 *101103001/201 -7/2，检00-1/200-3/2311 00001-15/401 0-1/40-5/405/2001 -1/20-11/207/40001/41 -3/4检验数000-1/40-17/4再略去松弛变量，最优解为，显然仍不是整数规划的最优解。继续作割平面，以行为源行的割平面，利用四个等式约束即可化为，（该割平面确实割去了松弛问题最优解为，也未割去原问题的任一整数可行解。）引入松弛变量，化为写入上表，3-100000CB基XB常数311 000010-15/401 0-1/40-5/4005/2001 -1/
7、20-11/2007/40001/41 -3/400-3/4000-1/4 *0-1/41检验数000-1/40-17/40311 000010-1201 000-1-104001 00-5-20100001 -1103000101-4检验数00000-4-1解得4、用割平面法求解解 引入松弛变量，得到对应LP问题的初始单纯形表计算如下：0100CB基XB常数06321000-3201 检验数010006601-110-3/2101/2 检验数3/200-1/201101/6-1/613/2011/41/4 检验数00-1/4-1/4此时LP问题的最优解，但不是整数最优解。引入割平面。以为源行
8、，所以生成割平面，利用两个等式约束解出代入即可化为等价割平面现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后得到下表01000CB基XB常数01101/6-1/6013/2011/41/400-1/200-1/4-1/41 检验数00-1/4-1/4002/3100-1/32/31101001020011-4 检验数0000-1此时LP问题的最优解，但仍不是整数最优解。引入割平面。以为源行，所以生成割平面，利用三个等式约束解出代入即可化为等价割平面现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后得到下表01000CB基XB常数02/3100-1/32/3011010010020011-400-2/3000-2/3
9、-2/31 检验数0000-100110001-1/211010010010010-53/20100011-3/2 检验数0000-10此时LP问题的最优解，是整数最优解，所以是原问题的最优解。（从解题过程可见，表中含有分数元素且算法过程始终保持对偶可行性，因此这个算法也称为分数对偶割平面算法）5、用割平面法求解解 引入松弛变量，得到对应LP问题的初始单纯形表计算如下：1100CB基XB常数0621100204501 检验数1100 026/501-1/5144/5101/5 检验数1/500-1/515/3105/6-1/618/301-2/31/3 检验数00-1/6-1/6此时LP问题的
10、最优解，但不是整数最优解。引入割平面。由于与的右端的真分数相等，可任选（如果不等，根据经验选其中较大的一个式子效果较好）。现在以为源行，所以生成割平面，利用两个等式约束解出代入即可化为等价割平面现将生成的割平面条件加入松弛变量，然后得到下表11000CB基XB常数15/3105/6-1/6018/301-2/31/300-2/300-1/3-1/31 检验数00-1/6-1/6010100-15/2140101-2020011-3 检验数0000*-1/2得到整数最优解，即为整数规划的最优解，而且此整数规划有两个最优解或。6、求解下列0-1规划问题解 用观察法求一个可行解。易看出是一个可行解，对应。由于目标函数求最大，故凡是目标函数值小于这个3的都不必讨论，于是有了一个过滤性条件约束 *优先考虑过虑性条件*，若遇到Z值超过过虑性条件右边的值，则应修改过虑性条件，继续做
