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1、第4讲平面向量与数学文化考情考向分析1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.3.考查以数学文化为背景的新颖命题，解决的关键是抽象出相应的数学问题，问题的背景主要涉及：程序框图、数列、概率统计、平面图形及空间几何体1(2019全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.2(2019全国)已知向量a，b满足|
2、a|1，ab1，则a(2ab)等于()A4 B3 C2 D0答案B解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.3(2019石嘴山模拟)已知向量a(2,1)，b(m，1)，且a(ab)，则实数m等于()A3 B1 C4 D2答案A解析ab(2m,2)，根据a(ab)，得a(ab)2(2m)20，解得m3.4(2019东北三省四市教研联合体模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”取意是指孙子算经中记载的算筹古代是用算筹来进行计算算筹是将几寸长的小竹棍摆在地面上进行运算算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各
3、个数位的数码从左到右排列但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示以此类推例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹可表示为()答案C解析由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式，易知正确答案为C.5(2019山西省榆社中学诊断性模拟)大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是：偶数项是序号平
4、方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入()An是偶数？n100? Bn是奇数？n100?Cn是偶数？n100? Dn是奇数？n100?答案D解析根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n是奇数？”，执行程序框图，n1，S0；n2，S2；n3，S4；n99，S；n100，S；n101100结束，所以第二个框应该填n100？.6(2019百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹
5、，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG中的概率为()A. B. C. D.答案C解析设AB1，则BC，根据对称性可知，落在正方形DEFG中的概率为.7(2019湖南G10教育联盟联考)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
6、天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为()A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己酉年答案D解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108，则2029的天干为己，80126余8，则2029的地支为酉，故选D.8(2019北京)“十二平均律”
7、是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A3f B3f C12f D12f答案D解析由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为12的等比数列，则第八个单音的频率为(12)7f12f.9(2019永州模拟)在ABC中，BAC60，AB5，AC6，D是AB上一点，且5，则|等于()A1 B2 C3 D4答案C解析如图所示，设k，所以k，所以(k)k225k5625k155
8、，解得k，所以|3.10(2019西宁模拟)我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A4 B8 C8 D82答案B解析由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：正方体的体积为2228，半圆柱的体积为122，从而其体积为8.11(2019河北省衡水金卷模拟)我国古代九章算术里，记载了
9、一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈，高3丈问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A13.25立方丈 B26.5立方丈C53立方丈 D106立方丈答案B解析由算法可知，刍童的体积V，26.5(立方丈)12(2019天津)在如图所示的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9 C6 D0答
10、案C解析如图，连接MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.13(2019全国)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.答案解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.14(2019辽宁省辽南协作校模拟)设向量a(1，)，b(m，)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_答案(3,1)(1，)解析因为a，b的夹角为锐角，所以abm30，解得m3，又当m1时，a，b0不符合题意，所以m3且m1.15(2019湖北七市(州)教研协作体联考)数书九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以
11、小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法以S，a，b，c分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；ha，hb，hc分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则S ahabhbchc.若在ABC中ha，hb2，hc3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_答案解析根据题意可知，abc232，故设a2x，b3x，c2x，由S ahabhbchc代入a，b，c，可得x，由余弦定理可得cos A，所以sin A，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为.16(2019河北省衡水金卷模拟)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为_答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，当0时，|取得最大值为2，当时，|取得最小值为，|.第 页
