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1、运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面各穿有一种小球,小球、b间用一细直棒相连。当细直棒与竖直杆夹角为时,求两小球实际速度之比。解析:小球a、b沿棒的分速度分别为和,两者相等。因此甲乙v1v2图2解题思路：对于绳联问题,由于绳的弹力总是沿着绳的方向，因此当绳不可伸长时,绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时,一方面要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解,令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。v1甲乙v1v2图3【举一反三】如图2所示,汽车甲以速度v拉汽车乙迈进，乙的速度为
2、v2,甲、乙都在水平面上运动，求v1v2分析与解:如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v和v2co，两者应当相等,因此有v1v2=csBMCARO图4例2、如图4所示,杆OA长为R,可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动,其端点系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳,绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽视,在O的正上方，O之间的距离为H。某一时刻,当绳的B段与OB之间的夹角为时,杆的角速度为，求此时物块的速率m.分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动,其速度VA的方向与杆A垂直，在所考察时其速度大小为： VA=RMCARO图5VAB对于速度VA作如图所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于B方向进行分
3、解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率，由于物块只有沿绳方向的速度,因此VVAcos由正弦定理知，由以上各式得VM=Hsin.练习：1.如图6所示,物体置于水平面上,A前固定一滑轮B,高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过、D.BC段水平，当以速度0拉绳子自由端时，A 沿水平面迈进,求：当跨过B的两段绳子夹角为时的运动速度v2.如图所示,均匀直杆上连着两个小球A、，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为B，加速度为aB,杆与竖直夹角为，求此时A球速度和加速度大小. 图7图8图9.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为0的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体2
4、连接.已知定滑轮到杆的距离为.物体m2由静止从B连线为水平位置开始下滑1 m时，1、m2恰受力平衡如图8所示.试求:（1）m2在下滑过程中的最大速度.（）m2沿竖直杆可以向下滑动的最大距离.4如图所示,S 为一点光源，为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在上的光线，已知SO=,若M以角速度绕点逆时针匀速转动，则转过30角时,光点 S在屏上移动的瞬时速度v为多大？图105.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提高井中质量为m的物体,如图10所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变,绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽视不计.开始时，车在A点,左右两侧绳都已
5、绷紧并且是竖直的,左侧绳绳长为H.提高时,车加速向左运动，沿水平方向从经驶向C.设到B的距离也为,车过B点时的速度为vB.求在车由移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功.6.如图1所示，斜劈的倾角为30，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一种质量与斜劈质量相似、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,求此后运动中图11（1)斜劈的最大速度.（2)球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽视不计）答案:1v=2.vvBtan;a=aBta.（）由图可知，随m2的下滑,绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的,m在点受力正好平衡，因此m从B到C是加速过程,后
6、来将做减速运动,因此m2的最大速度即出目前图示位置对m1、2构成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功,但绳子拉力做功代数和为零,因此系统机械能守恒E增=E减，即m1v+22v2+mg（AA)sin30=m2B又由图示位置、2受力平衡,应有：cosACB=m2g，Tm1gin30又由速度分解知识知1=vosCB，代入数值可解得2=.1m/s，(）m2下滑距离最大时m、速度为零,在整个过程中应用机械能守恒定律，得:增=E减即:1()sin3=mgH运用(1）中质量关系可求得2下滑的最大距离H=m.31由几何光学知识可知:当平面镜绕O逆时针转过30时，则：SS=60,图12OL/cos
7、60.选用光点S为连结点,由于光点S在屏上，该点运动方向不变,故该点实际速度(合速度)就是在光屏上移动速度v;光点又在反射光线OS上，它参与沿光线OS的运动速度1和绕O点转动，线速度v2;因此将这个合速度沿光线S及垂直于光线 的两个方向分解,由速度矢量分解图12可得：v1=sn60,v2vcos60又由圆周运动知识可得：当线OS绕O转动角速度为2.则:v2=L/s60vos60=Los6，v=8.5.以物体为研究对象,开始时其动能Ek10.随着车的加速运动，重物上升，同步速度也不断增长.当车子运动到点时,重物获得一定的上升速度Q,这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一种分量,如图1
8、3,即vQ=vB1=vBos45v图13于是重物的动能增为 E2 =m2mvB在这个提高过程中,重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为h=-H=(-1)HWG=mgh=g(-1）H于是由动能定理得 WT+W=Ek=E2-Ek1即Tmg(1）H=m2-0因此绳子拉力对物体做功TmvB+g（1)H.(1)A加速下落，B加速后退，当A落地时,B速度最大，整大过程中,斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零,因此系统机械能守恒mg(h-r)=mvA2+mvB2 由图中几何知识知:hco0rr 图14A、 B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图所示。由于两物体在垂直斜面方
9、向不发生相对运动,因此v2=vB2即vAcos30vBs30 解得=B= (2）A球落地后反弹速度vA=vA做竖直上抛运动的最大高度：Hm二、小船渡河模型求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移和速度，根据平行四边形定则画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式。小船渡河常用的问题如下。两种状况:船速不小于水速；船速不不小于水速。两种极值：渡河最小位移;渡河最短时间。 例1、一条宽度为L的河,水流速度为，已知船在静水中速度为,那么:(1）如何才干使渡河时间最短?（)若,如何才干使渡河位移最小?（3)若，如何渡河才干使船行驶的距离最短?解析：（1)研究小船
10、渡河问题时,可以把小船的渡河运动分解为两个运动,一种是小船在静水中的运动,另一种是水流的运动。船的实际运动为两者的合运动，如图2所示。设船头斜向上游与河岸成任意角，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为,渡河所需要的时间为。可以看出：L、一定期，t随sin增大而减小。当=90时，sin=（最大)，即船头与河岸垂直时用时最短。（2)如图3所示,渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直,即沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度，因此有,即。由于，因此只有在时，船才有也许垂直河岸渡河。（3)若,则不管船的航向如何，总是被水冲向下游，如何才干使船行驶的距离最短呢?如图4所示,设船头与河岸成角,合速度与河岸成角。可以看出：角越大，船行驶的距离s越短,那么，在什么条件下角最大呢？以的矢尖为圆心,的速度大小为半径画圆,当与圆相切时，角最大。根据可知此时船沿河行驶的距离最短此时渡河的最短距离【举一反三】：设有一条河，其宽度为700m，河水均匀流动,流速为2/,汽船在静水中的行驶速度为4m/s。则汽船的船头应偏向哪个方向行驶才干正好达到河的正对岸?参照答案：与上游河岸成角
