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1、2.2.1 对数与对数运算（一）一、 引入课题（62-64）1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.()4？()x0.125x=?2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数二、 新课教学1对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作： 底数， 真数， 对数式说明： 注意底
2、数的限制，且； ； 注意对数的书写格式提出问题为什么在对数定义中规定a0,a1?根据对数定义求loga1和logaa(a0,a1)的值.负数与零有没有对数?=N与logaab=b(a0,a1)是否成立?讨论结果：这是因为若a0,则N为某些值时,b不存在,如log（2）;若a=0,N不为0时,b不存在,如log03,N为0时,b可为任意正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log12,N为1时,b可为任意数,是不唯一的,即log11有无数个值.综之,就规定了a0且a1.loga1=0,logaa=1.因为对任意a0且a1,都有a0=1,所以loga1=0.同
3、样易知：logaa=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.因为底数a0且a1,由指数函数的性质可知,对任意的bR,ab0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数.因为ab=N,所以b=logaN,ab=N,即=N.因为ab=ab,所以logaab=b.故两个式子都成立.(=N叫对数恒等式)对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：；（3）底数的对数是1：； （4）对数恒等式：；（5）两个重要对数：常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.自然对数：在科学技
4、术中常常使用以无理数e=2.718 28为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式(课本63页)：（1）54=625;（2）2-6=;（3）()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.例2求下列各式中x的值（课本63页）:（1）log64x=;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.变式训练1、求下列各式中的x：log4x=;logx27=;log5（log10x）=
5、1.解：由log4x=,得x=4=2;由logx27=,得x=27,所以x=27=81;由log5（log10x）=1,得log10x=5,即x=105.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)4216; （2）30=1; （3）4x2; （4）2x0.5; (5)54=625; (6)3-2=; (7)()-2=16.解：(1)2log416; (2)0log31; (3)log4; (4)log20.5; (5)4=log5625; (6)-2=log3; (7)-2=log16.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)log527; (2)log87; (3)log43; (4)
6、log7;(5)log216=4; (6)log27=-3; (7)log=6; (8)logx64=-6;(9)log2128=7; (10)log327=a.解：(1)5x27; (2)8x; (3)4x3; (4)7x; (5)24=16;(6)()-3=27; (7)()6=x; (8)x-6=64; (9)27=128; (10)3a=27.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=; (2)logx27=; (3)log2（log5x）=1; (4)log3（lgx）=0.解：(1)因为log8x=,所以x=8=(23)=2-2=;(2)因为logx27=,所以x=27=33,即x=(33)=34=81;(3)因为log2（log5x）=1,所以log5x=2,x=52=25;(4)因为log3（lgx）=0,所以lgx=1,即x=101=10.4.(1)求log84的值; (2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.解：(1)设log84=x,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=,即log84=;(2)因为loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2an=(2)23=43=12.
