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1、第五章 直线与圆直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始. 对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况. 近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率. 第一节 直线与圆的位置关系1. 直线的-截距与-截距之间的关系例1 （09华南师大附中3月）已知直线在轴、轴上截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为，求直线的方程. 【动感
2、体验】 要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线在轴、轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况. 如图5.1.1所示，点在以（1，2）为圆心、半径为的圆上，直线（记为）经过点且与圆相切. 则该到点（1，2）的距离为恒为. 打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点，观察可能出现直线在轴、轴上截距的绝对值相等的情况. 图5.1.1【思路点拨】 对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论. 【动态解析】 图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点的直线在轴、轴上截距的绝对值均相等. 图5.1.2 图5.1.3 图5.1.4 图5.1.5 图5.1.6 图5.
3、1.7可设满足条件的直线的方程为. 当时，由点到直线的距离公式得：，解得或. 当时，则直线的斜率为1或者-1，由点到直线的距离公式得：，当时，解得或；当时，解得或. 因此所求直线的方程为：，或，或，或，或，或. 【简要评注】从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点的距离为，再寻找满足要求的直线，就容易分类了. 有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式. 2. 直线与圆的位置关系例2 （06湖南理10）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）。A B
4、 C D 方法一：【动感体验】方程可化为，该圆的圆心为（2，2）、半径为，圆心在直线上. 是一条过原点的直线，系数决定其倾斜角. 令，则的方程为：. 考虑变化时与直线平行并与之距离为的两条直线与圆交点的个数. 打开文件“06湖南理10.zjz”，实线表示直线，虚线是两条到直线的距离等于，通过拖动点或者动画按钮可以改变的值，如图5.1.8-5.1.12所示为其中的几种情况. 图5.1.8 图5.1.9 图5.1.10 图5.1.11图5.1.12【思路点拨】改变的值考虑当圆上恰好有三个点到直线的距离为时，两条平行线与圆的位置关系. 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线的距离恰好
5、为，由此不难确定直线的倾斜角的取值范围. 【动态解析】注意到，当圆心到直线的距离恰好为时，如图5.1.8、图5.1.11所示，. 由此不难确定若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为时,直线的倾斜角的取值范围是. 所以选择. 方法二：【动感体验】 方程可化为，可知该圆的圆心为（2，2）、半径为. 进入文件“06湖南理10.zjz”第二页，点是方程所在圆的圆心. 点是圆上的动点，与，因此可以用直线表示方程对应的直线，其中. 拖动点，观察直线与圆的位置关系，判断当圆上至少有三个不同的点到直线的距离为时直线所应满足的条件，如图5.1.13-5.1.16所示，为其中的几种情形. 图5.1.13 图5.1
6、.14 图5.1.15 图5.1.16【思路点拨】 将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离. 【动态解析】 令，则的方程为：. 当直线在圆心左上方时，若圆上正好有3个点到的距离为，如图5.1.13所示，则此时. 又因为，所以在中，所以.当直线在圆心的右下方时，若圆上正好有3个点到的距离为，如图5.1.14所示，则此时. 又因为，所以在中，所以.因此当时，如图5.1.15、图5.1.16所示，圆上有四个不同的点到的距离为. 所以选择. 【简要评注】本题解答过程中要抓住两个关键：一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离；二、直线的特征：经过原点. 3. 直线与动圆的位置关系例3
7、（09广东理B19）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上一点，且点与点和点均不重合（I）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（II）若曲线与有公共点，试求的最小值（一）求点的轨迹方程. 这里是定点，是曲线上的动点，是线段的中点，随点而运动. 既然曲线是抛物线，可以猜测的轨迹也是一条抛物线. 至于它轨迹方程，就是求点的坐标之间的关系. 注意到点的坐标满足曲线的方程，而点的坐标又可以通过和点坐标来表示，因此这个轨迹方程不难求出. 事实上：由解得：，；，因为是线段的中点所以有. 又为的中点，所以有，. 反解得，. 因为点在曲线上，（）
8、. 将上式代入得，化简得. 用表示点的坐标，则有，即，化简得. 由，得. 所以点的轨迹方程为：（），它表示一个抛物线弧段，如图5.1.17所示. 图5.1.17（二）求的最小值. 【动感体验】很明显是一个圆的方程. 可化为，它表示一个半径为常数而圆心为（，2）的圆. 随着的变化，这是一个可以左右平行移动的圆. . 进入文件“09广东理B19.zjz”第二页，如图5.1.18所示，圆表示方程对应的曲线. 点可以被拖动，水平移动圆的位置. 观察区域与圆有公共点的情况下，点的横坐标应满足的条件. 图5.1.18【思路点拨】求圆与有公共点时的最小值，就是求圆与线段相切且位于线段左侧时的的值. 【动态解
9、析】如图5.1.19所示，当圆经过点时，将（-1，1）代入解得：或（舍去）. 图5.1.19当圆与直线相切时，由点到直线的距离公式得：，解得：或（舍去）. 此时切点坐标为（，），因为，所以切点在线段内. 由此可知的最小值为. 【简要评注】本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动，半径固定，因而比较容易了解圆与区域、圆与直线的位置关系. 而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切的条件下，这时本题重点要考察的内容. 直观的演示可以帮助我们探索与发现问题，但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论. 4. 求与圆有关的动态向量的数量积例4 （08山东临沂）直线与圆相交于两点，若，则（为坐标原点）
10、等于（ ）. A B C0 D1【动感体验】圆是圆心为坐标原点半径为2的圆，设和之间的夹角为，根据向量的数量积的定义，因此关键在于确定向量与之间的夹角的大小. 由得到：，这说明原点到直线的距离等于1. 因此可以将直线看作是经过单位圆上一点并且与单位圆相切的动直线. 打开文件“08山东临沂.zjz”，如图5.1.20所示，拖动点，观察直线与圆两个交点的变化规律. 图5.1.20【思路点拨】 分析条件的几何意义，研究与夹角有关的几何关系. 【动态解析】 因为直线过点且与单位圆相切，所以垂直且平分. 在中，所以，. 图5.1.21所以. 因此选择A. 【简要评注】 解决本题的关键在于在熟练掌握向量的
11、数量积概念的前提下挖掘条件，从而确定直线的特征以求出向量之间的夹角. 5. 与直线截距有关的不等关系例5 （08全国I理10）若直线通过点，则（ ）. A B C D【动感体验】 由想到单位圆，是这个单位圆上的动点. 条件直线通过点实际上是说直线和单位圆有公共点，其中隐含圆心到直线的距离与单位圆的半径1的关系. 打开文件“08全国I理10.zjz”，如图5.1.22所示，经过点和点的直线表示方程对应的直线，点和点分别是直线与轴、轴的交点. 拖动点可以任意改变直线性质特征，研究四个选项所表示的几何意义以及成立的可能性. 图5.1.22【思路点拨】 在直角三角形中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关
12、系. 【动态解析】 图5.1.23和图5.1.24说明和两种情况都可能成立. 图5.1.23 图5.1.24当直线与圆相切时，如图5.1.25所示，直角三角形斜边上的高线等于圆的半径1. 图5.1.25 图5.1.26 而其他情况下，如图5.1.25所示，直角三角形斜边上的高线小于圆的半径1. 通过面积公式可以求得直角三角形斜边上的高等于，由化简得：. 因此答案选择D. 进入文件“08全国I理10.zjz”的第二页，如图5.1.27所示，则给出直线与单位圆没有公共点的情况，这时，由此，即选项C表明的关系. 图5.1.27【简要评注】本题中为截距，恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角
13、形的直角边长，因此设法在中找出及的几何意义是解决问题的关键. 本节小结 研究直线与圆的位置关系，通常转换为圆心与直线的距离问题. 此外，充分利用代数式的所表示的几何性质，能够提高我们的解题效率、减少出错率和计算量. 拓展练习1. （06湖南理10改编）若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则半径的取值范围是 . 2. （08辽宁理3）圆与直线没有公共点的充要条件是( ). A. B.C. D.3. （08安徽文10）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）. A BC D4. （08宁夏、海南文20）已知，直线：和圆：（）求直线斜率的取值范围；（）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？第二节 直线系与圆系1. 动直线与动圆的位置关系例1 （06江西理16）已知圆：，直线，下面四个命题：A对任意实数与，直线和圆相切；B对任意实数与，直线和圆有公共点；C对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；D对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切. 其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）【动感体验】这里给出的是圆的标准方程，其半径为1，圆心为. 可以想象出这些圆的半径都是1，而圆心在单位圆上，所以这些圆都过原点；而直
