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1、只由到时确定地震震中的概率方法 盖革（L. C. Geiger），1910 译者说明：译文根据Geiger,L.，1912, Probability method for the determination of earthquake epicenters from the arrival time only，1912， Bulletin St. Louis University 8, 60-71. (由F. W. L. Peebles 和 A. H. Corey根据Geiger, L.， 1910，Herdbestimmung bei Erdbeben aus den Ankunftszei
2、ten. Nachrichten von der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 331-349. 从德文翻译成英文)。 在上述英文译文中没有给出德文原文所附的一些表格,故本译文中在个别文字上作了修改。译文中的公式标号按原英文本的样式，文章中间有10个公式的标号在公式前面。而在之前还有10个公式的标号在公式的后面。但连续阅读不会造成混淆。读者如发现本译文中的错误，请发邮件给 赵仲和 符号：=经度，=纬度，t=发震时刻，以时、分、秒计。T=波的走
3、时，以分、秒计。*表示相伴的值是假定的，是要被校正的。是在地球表面上的角距离。只使用一次，表示观测值，当附在时间上时，表示到达一台站的观测到时。数字下标和通用下标n表示台站数据，或者是假定值或者是绝对值。下标0表示震中的函数。 为使用这一方法，我们必须首先假定一个近似的震中位置，这一假定值越接近最终位置，则校正值越小，定位结果会越准确，但最初假定值有几度的误差将可以计算出相当好的位置。这一过程在很大程度上依赖于第一个初至波的走时，当然，它不是距离的线性函数。 如果我们以任意方便的方法假定了、 和，并假定每个值中有误差，我们用、 和表示，于是有式（1）： （1）在这些等式中 ，左手边的量是要寻找
4、的量，右手边的第一项是没有改变的假定量，它们受第二项的校正。于是问题本身变成确定量。为确定这些量，我们进行下述过程：首先利用球面余弦定律计算从假定的震中到每个台站的距离： (2)在本讨论最后的制表工作中，这是用取对数的方法计算的，在余弦定律右边的两项用I和II 表示，这两项要相加。在这样得到之后，由自然余弦表得到相应的以角度测量的。现在我们有了从台站n到一个假定震中位置的近似角距离或者说弧距离，于是我们从一个走时表得到近似的走时。根据我们的符号，这一走时称作。近似的走时加上近似的发震时刻便给出近似的到时，即 (3) 如果在我们的假定位置中没有误差，在记录的时间中没有误差，而且观测中也没有误差的
5、话，那么，*tn将是我们的观测到时tn。但实际上存在误差，所以在二者之间将有差值Fn，即Fn=*tn-tn (4) 由此可清楚地看到，如果没有、 和这些误差，而且tn是准确的，那么就不会存在Fn。 我们的下一步是建立Fn和假定由于Fn的存在而造成的误差之间的关系。在此时我们假定，除了经度，关于震中位置和时间的其他数据都是正确的，并假定由于经度差造成了Fn，于是就是说，Fn将是一个时间校正值，等于每单位经度的时间校正值乘以经度校正的单位数。在当前考虑经度变化的情况下，如果我们检查每度经度的走时变化率，并利用这一比值，以一个等于这一比值乘以实际经度校正值（以相同的单位）的量来校正我们的时间，那么将
6、得到满意的Fn值。现在，将刚才关于经度所说的话以同等效力独立地应用于纬度，于是有。另一方面，如果我们假定发震时刻*t0有一个改变，则到时*tn也必定有一个类似的改变，因些到时随发震时刻的变化率总是为单位1。然而，为了便于数字处理，将这一比值按其他比值那样对待，因此有第三个校正值，尽管该值只不过是。由这一考虑得知，Fn实质上是以差分形式存在的，因为它可以等于前述的差分；因此，当项变得无限小时，Fn将趋于以0作为极限。现在，由泰勒定理可以看到，如果Fn分别依赖于、和，则Fn可等于它们之和。在构成这一等式时，用偏微分符号代替比值中的，以指出对每一个量的对待犹如其他量均为常数，并在最后使用总和。在我们
7、下文列出的工作中将会看到，对于纬度和经度，我们严格遵循这一过程，对于时间我们也同样这样做，但事实上时间比值总是等于1，因此只是引入了无用的工作。所以， （5） 由式（3）中建立的关系，给*tn的任何增量将会给予*Tn，否则走时将是一个随当天的小时改变的变量，因此在任何比值中可以用*Tn代替*tn。所以，我们可以代入式（5）， （6）以an、bn和cn代替（6）式中的比值，并记住cn必须为1，我们立即得到 （7） 在式（6）之后，我们代之以 ，。现在在这些比值的分子和分母中引入，并对所得到的分式进行因式分解（factoring），我们得到： 和 （8） 现在，如果我们以时间秒计算*Tn，以弧分记
8、，则上式中的第一个比值将表示中每弧分变化所造成的走时变化。这可由走时表按下述过程计算出来：对每个台站取给定距离处对应于每度变化的时间差dsn（以秒为单位），并除以60，得到对应1弧分的时间差。这样， (9) 在每种情况中的第二个比值显然是对假定震中的经度或纬度给一个增量所造成的距离变化量除以该增量所得到的商（guotient），即或的每单位变化所造成的的改变。可按下述方式容易地得到这一比值：对假定震中的经度赋予一个任意的增量，例如1或更大些。这一新点的坐标将是。利用球面余弦定律（式（2），计算每个台站到那一点的距离。称该距离为。于是，显然，这是对赋予增量后产生的变化。将这一总变化除以赋予的增量
9、，得到的商便近似于的每单位变化造成的的变化，它正是所希望的比值。对每个台站的式（8），与的乘积将给出式（7）中的系数an。以类似的方式得到 ，我们同样对赋予1或更大的一个任意增量，计算从每个台站到新点的距离，求出差值，并将该差值除以纬度增量。该结果又将是所希望的比值，将其乘以内插因子，于是给出式（7）中的第二个系数bn。这一工作可利用从每个台站到假想震中的距离*n列表进行。 现在我们已经有了an和bn的实际数值，以及cn=1。但n代表那些台站中的任何一个，于是，利用式（7），我们看到对每个台站有一个F值，即Fn。这样，我们有多个误差方程，其方程个数等于使用其数据的台站个数。现在，最小二乘法理论
10、（注）表明，所求未知数的最可能值是使各误差的平方和达到极小的那些值，设x是某个量，将其加到每个假设误差上将使得到的量的平方和，即(F1+x)2+(F2+x)2+，达到极小。 于是，由微积分学（Calculus）得到，由于所考虑的函数趋向于极小值而不是极大值，所以x值将使该函数成为极小值，这将使函数的一阶导数等于零。所以，取微分（differentiating），令其等于零，再求解x，我们便得到一个校正量，它是必须加到每个台站误差上从而使平均误差达到极小。现在，我们的一般化误差方程变为： (10) 这对那些观测值几乎最一致的台站给予了最大权重，而对其误差最偏离平均值的台站给予了最小权重。这样，三
11、个未知量每一个将要使自身调整到给出最小平均误差的值。现在建立表格，列出3个系数a、b、c的数值以及它们的和S（下一步工作中将会需要这个值），还有每个台站的“加权误差”（F+X）。在下文中将把(F+x)称作Fn。为了方便，我们还将设第一个未知数=x；第二个未知数 =y；第三个未知数=z。我们现在已准备好构建和求解所谓正规方程了。正规方程的构建和求解 如果有给定个数的联立方程，而且方程个数超过未知数的个数，如我们的情况那样，那么在试图求解时，考虑到原始数据的准确性，大概不可能证明所得到的全部结果都是准确的。这些量的值依赖于各系数的值，如果可能把这些值调节到每个量的最可能值的话，那么对每个未知数便可
12、得到一个结果。对于大多数实际目的，其中所能得到的最好结果是一个近似值，这时，这一过程是很有用的。这一方法有如下述，其中的系数是展开排列的：我们现在有5个方程式：我们要由这些方程求出3个未知量的值。如果这5个方程逐项相加，则等式仍然成立，于是可写成，其中符号 简单地代表所包括的项是全部这样的量之和。这单一方程式当中的不准确性被平均了。如果各误差相等，或者如果对数据的每个元素可赋予相等的可信度（reliance），那么它就是我们能选择的最合理的近似。上面给出的一个方程是不足以解出3个未知数的，所以必须给出一种能提供至少3个方程的方法。如果在进行上述相加之前对这N个方程每个都乘以an，其中n是一个通
13、用下标，那么我们将有下面的和，式中采用前面使用的符号，类似地，乘以bn得到 类似地，乘以cn得到 这些方程被称作正规方程，并如任何其他联立方程同样对待。它们只有3个，用于求解3个未知数，所以不会受到多个不同解答的困扰。换言之，我们已在开始计算之前对误差进行了平均。 在下面的工作中，对于更大的部分将略去符号 。（该符号是指所包括的所有这样的项求和），当然我们必须对它求值。我们需要计算下列各项：aa ab ac aF bb bc bF cc cF FF 由这些项，我们计算由这些又计算出 为了随时检验这些数值运算，还要进行一个独立的计算。这一独立的计算与把正规计算用作检验有许多共同点，但对结果的确定还应按上述步骤进行，而下述计算只是用于检验：设a+b+c=S等等于是由这些又计算出 由此得到 由此可检验我们的其他确定结果中的两个。 于是 于是 再有， 和 和 作为最终检验，我们返回到原始的方程，如 并进行替换，于是将出现真正的误差。我们将利用对一般情况的求解。（1）（2）（3）由式（1）和式（2）消去x，我们有： 彼此相减并除以aa,得到（4） 通过替换，上式变为（5） 由式（1）和式（3）消去x，我们有： 重复上述
