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1、计算水力学（CFD）杨大超（水利水电学院 水力学及河流动力学 1030201039）计算水力学(Computational Fluid Dynamics，简称CFD)是由流体力学理论、计算机技术和数值方法等交叉产生的一门应用学科。基本思想是把原来在空间域和时间域上连续的物理量场，用一系列有很个离散点上的变量值来代替，通过一定原理和方式建立起关于这些离散点上的场变量之间关系的方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。一、CFD的求解过程1建立反映流体流动问题的数学模型。具体的说就是要建立反映问题各个量之间关系的微分方程及相应的定解条件。流体的基本控制方程通常包括质量守恒方程、动量守恒方程、能
2、力守恒方程，以及这些方程相应的定解条件。2确定计算方法。即建立针对控制方程的数值离散化方法，如有限差分法、有限元法、有限体积法等。这里的计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及求解方法，还包括边界条件的处理等。3计算区域网格划分、编制程序和进行计算。这部分工作包括计算网格划分、初始条件和边界条件的输入、控制参数的设定等。4计算结果分析。二、常用的CFD控制方程1圣维南方程组式中：x为距离坐标；t为时间坐标；A为过水断面面积；Q为流量；h为水位；q为旁测入流量；C为谢才系数；R为水力半径；g为重力加速度。2紊流的基本方程紊流的连续方程：不可压缩流体的连续方程不可压缩流体的连续方程：不可压缩流体的紊
3、流时均流动的连续方程为：不可压缩粘性流体的运动方程即 NS方程可写为：不可压缩紊流时均流动流动的运动方程(雷诺时均方程) 上式中的是紊动对时均流动产生的影响，称为雷诺应力。使得连续性方程和雷诺时均方程无法封闭，不易求解，因此必须引进紊流模型使之封闭。三、紊流模型1零方程摸型 不使用微分方程，而用代数关系式，把紊动粘性系数与联系起来的模型。最著名的是Prandtl提出的混合长度模型。2单方程模型零方程模型和单方程模型具有直观、简单、计算速度快等优点，但计算容易失真，无普遍性和通用性，仅适用于射流、喷流等简单流动。3标准双方程模型标准模型是一种适合于湍流充分发展的计算模型，计算量适中，精度、适用性
4、和通用性较好。在求解带有强旋转或弯曲壁面的流动时，标准模型会产生失真。4RNG模型RNG模型是由Yakhot和Orszag提出来的 5Realizable模型1995年，T.H.Shih等人提出了Realizable模型 该模型已广范的应用于旋转流、射流、边界层流等各种形式的流动 。四、边界条件的应用1进口边界进口边界上的所有因变量都以本质边界条件给出，即，2出口边界计算区域的下游边界认为流动己充分发展，各物理量沿程变化很小，即取 ，或 ，3自由表面一是在不考虑水面波动影响的情形下，只考虑自由面的切向速度，而忽略法向速度，即所谓的刚盖假定；二是采用VOF模型直接模拟。 4固壁边界在固壁上采用无
5、滑移条件，即，固体壁面附近为紊流的粘性底层，其中速度梯度很大，高雷诺数情况的计算模型不再适用，通过常用的壁面定理求得近壁处流速。 五、常用的CFD离散方法1有限差分法(finite difference method, FDM)有限差分法是一种传统的数值离散方法，其基本思路是：在矩形网格上采用差商近似代替微分方程的微商，用网格节点的差分方程逼连续函数的微分方程。从而连续函数的微分方程求解变为离散节点值的代数方程组的求解。有限差分方程可以用于各种类型的微分方程，数学概念清晰，计算模式易于拟定，便于编写程序。误差估计、收敛性和稳定性成熟，是运用广泛的一种方法。运用差分离散时，可以采用不同的差分格式
6、，如:显格式、隐格式等。从理论上说，高阶差分格式可以减小误差，但也会造成边界条件处理上的困难。传统差分方法最大的缺点是:网格布置不灵活，网格无法与不规则的边界充分贴和，从而降低了计算精度。为克服其局限性，许多学者致力于不规则边界处理问题的研究。诸如美国的J. F.Thompson等人提出的边界拟合坐标系(Boundary Fitted Coordinate System)方法，利用这些方法在原则上可以将任意复杂的几何边界变成为规则的几何边界求解。然而计算区域的规则化是以控制方程的复杂化为代价的，并且当边界存在尖角的时，会出现局部奇异现象，使计算不收敛。2有限体积法(finite volume
7、method, FVM)有限体积法又称控制体积法，是七十年代由Spalding和Patankar等人提出和发展来的一种离散方法。其基本思路是:将计算区域划分为一系列连续但互不重叠的控制体积，并使每个控制体积包围一个网格节点，假定各变量在网格节点间的变化规律，将待求解的微分方程对每一个控制体积积分，得出一组离散方程，未知数是网格节点上因变量的数值，有限体积法物理概念清晰，实际上反映了物理量在有限体积内守恒原理，正如微分方程表示的物理量在无限小的体积内的守恒一样。此方法对任意控制体积都体现出准确的守恒原则，且能拟合不规则边界。目前这种方法得到广泛的应用。3有限单元法(finite element
8、method, FEM)有限单元法是以变分原理或加权余量法为基础的单元插值离散方法。有限单元法的基本原理是将求解区域分解成相互连接而又不重叠的几何单元(如三角形、四边形等)。在各单元内部选取适当的点(即节点)作为插值点，把微分方程中的变量写成经过合理选择的插值函数(逼近函数)与其导数在节点上的线性拟合。求解的手段则是应用变分原理或加权余量法，将问题的控制微分方程转化为可以控制所有孤立单元的有限方程，最后将这些局部单元进行总体合成，可以得到满足初始和边界条件的有限元代数方程组，求解得到各节点上的函数值。有限单元法的优点是:具有几何形状拟合的灵活性;具有丰富的数学结构和较为完整、统一的算法，更加适
9、用于模块化编程，且算法程序具有通用性;网格剖分灵活，能以较少的网格获得较高的精度，有限元的精度取决于单元插值函数或控制节点之间的函数分布假设。有限单元法计算内存大，形成的矩阵不总是稀疏的，计算工作量大，程序编著复杂。传统的有限单元方法强调整体存储，因而占用的内存大。4有限分析法(finite analytic method, FAM)有限分析法是七十年代末，美籍华人陈景仁提出的一种新的求解微分方程的数值方法。有限分析法的基本思路是将待求解的总体区域划分为有限个子区域。在这些区域内做一些简化，然后求解偏微分方程方程在该区域的解析解，再从解析解导出一个代数方程，将子区域上的内节点和相邻的节点联系起
10、来。汇总所有的子区域，便得到流动区域内各网格节点上因变量的未知数与边界点已知值之间的线性代数方程，求得其数值解，有限分析法是一种局部精确求解得方法，它使得方程中对流、扩散特性确切的反映到计算过程中。其优点是:计算量小，稳定性好，精度高。5边界元法(boundary element method, BEM)边界元法又称为边界积分方程法，在流体力学中称为有限基本法，它是七十年代中期发展起来的一种数值方法。其实质是解数学物理方程中的格林函数法，据此给出解的积分表达式，利用定解条件建立边界积分方程，由于所有的边界积分方程不可能求出其解析界，因此，利用有限元离散，将其转化为边界节点上的未知量表示的代数方
11、程组，求解该代数方程组，便可以得到边界节点上的所有未知量。以上过程可以求得边界物理量得变化。若要求解计算区域内物理量的变化问题，则应该求得的边界节点上的未知量连同定解条件一起代入解的积分表达式，计算相应的积分，得出区域内部节点上的数值。边界元法最大的特点是可以使求解问题的空间降维，从而使计算工作量与所需要的内存明显减小。边界元是计算椭圆形问题的有效方法。由于求解过程中需要控制方程的基本解，而对于复杂问题(如求解完整的N-S方程)难以给出基本解，所以该方法运用有一定的限制。6特征线法该方法是根据数学理论将偏微分方程转化为常微分方程求解，以及通过坐标的转换寻找可以将偏微分方程转化为常微分方程的一组
12、特征线，然后沿特征线积分求解。特征线法推导严谨，数值解法中精度较高，对其他方法的研究还能取得指导作用，因此是一种基本的解法。在实际计算中，由于特征线计算网格不规则需要同时存储节点在平面上的位置坐标和节点上的水利参数，需求的存储量较大。所以实际计算中一般采用特征线差分方法，网格节点的位置按差分方法布置，但解点之间关系按特征线方法原理建立。特征线法在具体计算中，具有精度高，不受稳定条件的制约等优点。其最大的优点是能用于涌潮地区，这是其它方法不能比拟的。但是特征线法也有其不足，其缺点是:特征方程为非守恒形式，用差分方程离散特征方程时，会带来守恒性误差;特征线法多用于二维和一维问题。六、小结通过对CFD课程的学习，大体认识了CFD的计算流程：建立控制方程、确定初始条件和边界条件确定计算区域、划分网格生成计算节点离散控制方程、初始条件和边界条件给定求解控制参数求解离散方程输出计算结果。在结合上学期NS方程课程，对各种控制方程有了更深层次的学习和了解，逐渐对有限体积法、有限差分法和有限单元法以及特征线法印象加深，在查阅资料和论文了解到有限分析法和边界元法，并慢慢对各离散方法的区分，如有限单元法与有限差分法的区别：有限差分法是将区域分成许多单独的网格点，用差分代替微分，控制方程转化为差分方程；有限单元法是将区域分成许多单元，单元由网格节点组成，建立等效（弱）积分提法，求近似解。
