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1、第四章 图形的相似一成比例线段1.线段的比1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成.2.成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.注意点:a:b=k,说明a是b的k倍； 由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数；比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若, 则ad=bc； 若ad=bc, 则合比性质:如果，那么； 等比性质：如果（），那么注意：若没有“b+
2、d+n0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，/，则.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.0.618:1；四相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.
3、1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五三角形的相似（“”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等；两边对应成比例,且夹角相等；三边对应成比例.一个锐角对应相等；两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.
4、 斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2） 利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3） 利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4. 相似三角形的性质（1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对
5、应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.图形的位似：位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.
6、位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知ABC和点O.以O为位似中心，求作ABC的位似图形，并把ABC的边长扩大到原来的两倍. 注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A，则A点的坐标可以这样确定xA=xAk，yA=yAk 即A（kx,ky）
7、或xA=xA(-k)，yA=yA(-k) 即A（-kx,-ky）例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为的位似图形.题：ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放大，点A的对应点A的坐标为_总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移 左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3） 旋转: 绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.1
