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1、高考数学复习 解排列组合应用题的 21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌 握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效 途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种1解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4二244种，答案：D 2. 相离问题插空法:元
2、素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把 规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、 1440 种 B、 3600 种C、 4820 种D、 4800 种r2解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的56排法种数是A5A2 = 3600种，选B.L2丿3. 定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方 法.例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是C、 90 种D
3、、 120 种A、 24 种B、 60 种（3解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排 列数的一半，即一A5 = 60种，选B .l254. 标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另 一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字1， 2， 3， 4填入标号为 1， 2， 3， 4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格 的标号与所填数字均不相同的填法有A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种4.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三
4、步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3 X仁9种填法，选B .5. 有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5. （1 ）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担 这三项任务，不同的选法种数是A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种C4C4C4D、2 8种A33（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案 有A、C4 C4C4 种B、3C4 C4C4 种C、C4 C4 A3 种12 8412 8412 8 3r 5解析：先从10人中选出2人承
5、担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C2 C1C1二2520种，选C .1087j 6.答案：a ./6. 全员分配问题分组法：例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有 多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、 480 种B、 240 种C、 120 种D、 96 种A7解析：把四名学生分成3组有C2种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故43共有C2A3二36种方法.43说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分
6、配J8答案：B 丿7. 名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？9解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每 堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C6二84种.I9丿8. 限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ra10. 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参
7、加，则有派遣方案A4种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，8L然后安排其余学生有A3方法，所以共有3A3 ；若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；8 8 8若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A28种，共有7 A82方法所以共有不同的派遣方法总数为A84 + 3 A3 + 3A；+ 7 A82 = 4088种.9. 多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9. （1）由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210 种B、300 种C、
8、464 种 D、600 种（2）从1, 2, 3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的 取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1， 2， 3， 100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序） 有多少种？（ 11. 解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有A5、A1 A1 A3、5433A1A1 A3、A1A1 A3和A1 A3个，合并总计300个，选B .3 332333312. 解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A = 7,
9、14,21,98共有14个元素，不能被7整除的数组成的集合记做曾=1,2,3,4, ,100共有86个元素；由 此可知，从A中任取2个元素的取法有C2，从A中任取一个，又从S A中任取一个共14I有C1 C1，两种情形共符合要求的取法有C 2 + C1 C1 = 1295种.148614148613. 解析：将I = 1,2,3,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A = 4,8,12, 100；能被4除余1的数集B = 1,5,9, 97，能被4除余2的数集C = 2,6, ,98，能被4除余3的数集D = 3,7,11, 99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符
10、合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任 取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2 + C1 C1 + C2 种.2525252510. 交叉问题集合法： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB)= n(A) + n(B)一n(Ap|B).例10.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒， 共有多少种不同的参赛方案？14, 解析：设全集二6人中任取4人参赛的排列, A= 甲跑第一棒的排列, B= 乙跑第 四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I) 一 n(A) 一 n(B)
11、 + n(A n B) = A4 一 A3 一 A3 + A2 = 252 种.l6554j11. 定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的 元素。例 11.1 名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？厂15. A.解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排, 种，选C. A5 = 72 种.3 412. 多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例 12. (1 )6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是Ai A2 A5 = 5760 种排法
12、.445A、36 种B、120 种C、720 种D、1440 种 (2)8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元 素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例 13. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种18. 解析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电 视机，故不同的取法共有C4排在后半段的四个位置中选一个有Ai种，其余5个元素任排5个
13、位置上有A5种，故共 - C3 - C3 = 70种，选.C9 45解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C4+c5U =70台，选C.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可 用先取后排法.例 14.（ 1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ （2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的 分组方法？19.解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C2种，“再排”在四4个盒中每
14、次排3个有A：种，故共有C河=144种.20.解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有叫中排J法，故共有A； =120种.15. 部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合 条件数，即为所求.例 15. （1 ）以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种21解析：正方体8个顶点从中每次取四点理论上可构成C4四面体但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面
15、体，所以四面体实际共有C4 -12 = 58个.822解析：10个点中任取4个点共有种其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C4，四个面共有4C4个；过空间四边形各边6 6中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C4 -4C4 -3-6 = 141种.10 616. 圆排问题线排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟） 不同的排法才算不同的排列而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的它 与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分下列 n 个普通排列：a ,a ,a ,a ;a ,a ,a , ,a , ;a ,a , ,a 在圆排列中只算一
