第三节系统频率特性

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1、第三章 系统频率特性系统的时域分析是分析系统的直接方式，比较直观，但离开 计算机仿真，分析高阶系统是困难的。系统频域分析是工程广为 应用的系统分析和综合的间接方式。频率分析不仅可以了解系统 频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时 域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更 靠得住的方式。本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方式， 接着介绍 Nyquist 图和 Bode 图的绘制方式、系统的稳定裕度及 系统时域性能指标计算。频率响应和频率特性3.1.1 一般概念频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号x (

2、t) = X sin w tii按照微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号 同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了转变。输出幅值正 比于输入的幅值x ,而且是输入正弦频率w的函数。输出的相位i与X无关，只与输入信号产生一个相位差申，且也是输入信号频i率w的函数。即线性系统的稳态输出为x0 (t)二 X0(w)sinwt + Q (w)由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是3的函数，称为 系统的幅频特性，记为A）。输出信号与输入信号相位差也是3 的函数，称为系统的相频特性，记为申（3）。幅频特性：A（3） = Xo（3）X.（3）i相频特性：Q（3） F0（3）-许（3）频率特性是指

3、系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为：G (j3)=X 0(j3)X.(j3).频率特性G（j3）是传递函数G（s）的一种特殊形式。任何线性持续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的S以j3代替而求得。G（ j3） 有三种表示方式：G (j3)二 A(3 )ejQ(3)G (j3) = U (3) + jV (3)G( j3) = A(3)cos(3) + jA(3) sin 申(3)式中，实频特性：U (3) = A(3)cos 申(3)虚频特性：V （）=A（）sin申（）A） =2） + V 2 ）甲=arctan皿U一般在分析系统的结构及参数转变对系统性

4、能的影响时，频 域分析比时域分析要容易些。按照频率特性，可以较方便地判别 系统的稳定性和稳定裕度，并可通过频率特性选择系统参数或对 系统进行校正，使系统性能达到预期的性能指标。同时，由频率 特性易于选择系统工作频率范围，或按照工作频率要求，设计具 有适合的频率特性的系统。频率特性物理意义明确而且可以用实验的方式测定出来。控 制系统的频率特性与其动态特性和静态性能之间存在着定性和 定量的关系，因此，可以利用图表、曲线和经验公式作为辅助工 具来分析和设计系统。3.1.2 频率响应的计算一、持续时间系统频率响应的计算Y (s)U(S)b sm + b SmT Hb bm m10a sn + asn1

5、 HH ann 10则系统的频率响应可以由：、 b (je)m + b 1 (j)m-1 + + bG (J) = mm1Oa (Je)n + a(Je)n1 + ann10直接求出。又设已知系统的状态方程模型为X = AX + BU()Y = CX + DU则系统的频率响应可以由下式直接求出：G(j)二 C (j-A)-1B + D二、离散时间系统频率响应的计算若离散系统的状态空间模型为(F,GC,D),则此系统的频率响应为：G(joT)二 C(e-阿I - F)-1G + D如离散系统以传递函数模型表示，将z = ejoT代入，则系统的 频率响应为：b (ejoT)m + b (ejoT)

6、 m-i Hb b ejoT + bG (ejoT)=亠 2mm+1a (ejoT)n + b (ejoT)n-1 + b ejoT + b12nn+1式中，T为采样周期。应注意，离散时间系统的采样频率o =还，而系统的频sT率范围应在0令之间。三、频率响应计算函数MATLAB控制工具箱中，函数FREQRESP用于计算LTI系 统的频率响应,它既适用于持续时间系统,也适用于离散时间系 统；既适用于SISO系统，也适用于MIMO系统。函数挪用格式 为：H = feqresp (sys, o)其中，sys为系统模型；o为指定的实频率向量，单位为rad/s;返回值 H 是系统的频率响应。它是一个三维

7、数组。例如，SISO系统，H(l,l,5)表示频率点o(5)所对应响应值；对于MIMO 系统，H（l,2,5）表示第1个输出和第2个输入之间在心）频率点 的响应值。频率响应H为复变量为了说明函数FREQRESP所采用的计算方式，下面程序用两 种方式计算一个离散的频率响应：1.采用变换z = ej旗；2.直接用 函数 FREQRESP。例3-1已知离散系统传递函数为：G=0.0478z + 0.0464，采 z2 - 1.81z + 0.9048样周期t = 0.1s，试计算它的频率响应并绘制其幅频图和相频图,。sz1-2-4-Ei-B(qpjapnlcBruw图 3-1 系统的频率响应频率特性

8、图示法在经典控制论中，常常利用图示法来描述系统的频率特性，它们是：（1）幅相频特性Nyquist图，由表示极坐标上的G j）的幅值和相角关系。(2) 对数幅相特性一Bode图，它由两个图组成：对数幅频 特性图和对数相频特性图。纵坐标别离是：幅值Lg) = 20lgA)， 以dB表示；相角申()，以度表示。横坐标为频率，采用对数分度。(3) 对数幅相特性一Nichols图，它是以为参变量来表示 对数幅值和相角关系图。MATLAB控制工具箱中，有专用的函数可方便地实现这三个 图形的绘制。3.2.1 Nyfquist 图的绘制频率特性G(加)是频率的复变函数，可以在复平面上用一个 矢量来表示。该矢量

9、的幅值A) = |G(je)|，相角申()=ZG(j)。当 频率从0 *转变时，G j)矢端的轨迹即为频率特性。因此，把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图形，称 为频率特性的极坐标图，或称为Nyquist图。Nyquist 图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影 响。MATLAB控制工具箱中有绘制Nyquist图的函数NYQUIST， 挪用格式为：nyquist(sys)nyquist(sys,)nyquist (sysl, sys 2, ,sysN)nyquist (sys1, sys 2, ,sysN, )Re, Im, ) = nyquist (sys)其中，sys为系统模型；

10、频率向量；Re为频率响应实部；Im频 率响应虚部。MATLAB中，频率范围可由两个函数给定:log space、,2，N) 产生频率在和2之间N个对数散布频率点；linspace叫2,N)产 生频率在和之间N个线性散布的频率点；N可以缺省。12函数 NYQUIST 用于计算 LTI 系统的 Nyquist 频率响应。调 历时，若不包括左侧输出变量，函数 NYQUIST 绘制系统的 Nyquist 图；调历时，若包括左侧输出变量，则不画图，只输出 变量的向量，这常常利用于分析系统频率特性。同时， MATLAB 控制工具箱中还有绘制 Nichols 图的函数NICHOLS，其挪用格式为：nicho

11、ls(sys)nichols (sys,)nichols (sysl, sys 2,sysN)nichols (sysl, sys 2,sysN, )mag, phase, = nichols (sys)函数nichols(sys )用来计算LTI系统的频率响应并绘制Nichols 图，分析系统的开环和闭环特性。例 3-2绘制系统 G (s) = 2s2 + 5s +1 的 Nyquist 图和 Nichols 图，。k s 2 + 2s + 3图 3-2 Nyquist 图由图可见，该系统的开环Nyquist曲线不包围（_i, j0）点， 故闭环是稳定的。3.2.2 Bode 图的绘制Bod

12、e图是由两幅图组成，别离称为对数幅频特性和对数相频 特性。它在频率响应法中应用最为普遍。它的横坐标是频率 讥rad/s），对数幅频特性的纵坐标是幅值20lg|G（j ）|，单位dB；对 数相频特性的纵坐标为申（），单位degoBode图便于对系统中不同环节的作用和整个系统进行分析。MATLAB 控制系统工具箱中，用于 Bode 图绘制的函数是 BODEo函数BODE用于计算线性时不变系统（LTI）的频率响应、 幅值和相位，绘制Bode图，挪用方式为：bode(sys)bode( sys,)bode( sysl, sys 2, ,sysN)bode( sysl, sys 2,sysN, )mag

13、, phase,=bode( sys)其中，sys为系统模型；mag为幅值；phase为相位；频率范围。 函数BODE可用于任意LTI系统，即单输入单输出(SISO)系 统，多输入多输出(MIMO)系统，持续时间系统，离散时间系统。用函数bode(sys)绘制系统的Bode图时，频率范围将按照系统 零极点自动肯定。bode(sys,o)是按照给定的频率范围绘制系统sys的频率特性 曲线。bode( sysl, sys 2, ,sysN, o) 是按照给定的频率范围o绘制多个系统 的频率特性曲线。当函数挪用带有左侧输出变量时，函数将返回频率响应的幅 值mag，相位phase和频率值o。例3-3例

14、 3-1系统，试绘制其Bode图，。2DS-9P1 一岳 EEBede Dtagr-airi-S世 asnkdV-1D101Fretfjerc (rwlfcrc)Oid2图 3-3 Bode 图比较图3-3和图3-1可知，在MATLAB中，可用不同方式求 得系统的频率响应特性，函数BODE完成例3-1程序的所有计算。稳定裕度由Nyquist稳定判据可知，若系统开环的Nyquist轨迹不包围 (-1, j0)点，闭环系统是稳定的。当系统开环 Nyquist轨迹离点 (-1, j0)越远，闭环系统的稳定程度越高；开环Nyquist轨迹离点 (-1, j 0)越近，则其闭环系统的稳定程度越低。这称为系统的相对 稳定性。它通过系统开环传递函数g (加)对点(-1, j0)的靠近程度 k来表征，定量表示为稳定裕度：幅值裕度kg和相位裕度丫。一、幅值裕度 kg 的求取在Nyquist图上，当为相位交壤频率时，开环幅频特性 g|G(je)H(妙)|的倒数，称为系统的幅值kg，即kg 二-G (j )H (jo)|显然，在 Nyquist 图上， Nyquist 轨迹与负实轴的交点至原点 的距离即为1/kg。对于稳定系统，有1/kg 1 在Bode图上，幅值裕度改以分贝(dB)表示：1= -20lg |G (j ) H (j )g(j )H(j )gg1gg20lg |kg|