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1、函数概念与基本初等函数映射、函数、反函数（一）集合 性质表示运算1、若集合，且，求实数的值；1、解：由；因此，（i）若时，得，此时，；（ii）若时，得，此时，；（iii）若且时，得，此时，不是的子集；故所求实数的值为或；2、若，则的值为( )（A）0 （B）1 （C） （D）1或2、C（二） 映射与函数1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：AB.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素
2、，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 .其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域. 函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.1. 下列四个对应中，是映射的是 （ C ）abmnp(2)abcmn(1)abcm(3)abmnp(4)A.(3)(4) B.(1)(2) C.(2)(3) D.(1)(4)2. 判断下列各组函数中，是否表示同一函数。（C ）A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=， g(x)= C.f(x)=x2-
3、x-1，g(t)= t2-t-1 D.f(x)=x-1 , g(x)=-1 E.f(x)=,g(x)=;3. 已知函数f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的个数是（ ）A.0 B.1 C.0或1 D.1或2（三） 求函数解析式的常用方法一、“拼凑变量”法将原复合函数解析式右边拼凑了变量，看成整体替换成变量，从而得到解析式例1已知, 求的解析式.二、换元法解题时，把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法例2 若函数满足,求的解析式三、待定系数法我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或
4、要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。 例3求实系数的一次函数，使 四、解方程组法（消参法） 若已知式是由两个互为倒数的变量的函数关系式组成，常常采用“消参法”解决，即依据倒数的关系，重新产生一个关于两个互为倒数的变量的等式，再联立消去而得。例4已知，求的解析式 五、赋值法在求函数解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋予特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解。例5已知，求的解析式（四）函数定义域的类型和求法：一、常规型基本方法：已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：分式中的分母不为零；偶次方根下的
5、数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。例1： 求函数的定义域 。二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况：（1） 已知的定义域，求的定义域。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例2：（06湖北卷）设，则的定
6、义域为_。（-4，-1）并（1,4）例4 ： 已知的定义域为1，2，求f(x)的定义域。【3,5】三、逆向型例3 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。（0,1）五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对字母分类讨论。例4 已知的定义域为0，1，求函数的定义域。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例5 求函数的单调区间。练习1已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域正解：由于函数的定义域为0，1，即满足，的定义域是1，02.函数f(x)的定义域为a,
7、b,且b-a0,则F（x）= f(x)-f(-x)的定义域是 。2.a,-a由且b-a0,得a3(04安徽春) 若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于 ( )A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x4若则值为（ ）A. 2 B. 8 C. D. 5 若，则实数a的取值范围是 6已知函数，那么_。7 根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求8.设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.9矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值
8、答案：(1) s=x2（0，5】 （2）12.5（四）求值域的常见方法求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法从自变量的范围出发，推出的取值范围。例1 求函数的值域。例2 例7 求函数的值域。二、配方法 配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例3 求函数（）的值域。三、分离常数法形如的函数均可由此法求得值域。要注意自变量x的广泛性如：x为x2,ax,logax等等。 例4 求函数的值域。解：四、函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例5
9、 求函数的值域。五、图像法（数形结合法） 函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例6 求函数的值域。六、换元法运用换元手段将函数化成值域易求的另一函数，进而求其值域。形如的函数示值域常用此法。例7 求函数的值域。八、判别式法 把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例8 求函数的值域。九、构造法有时所给函数的解析式形式酷似某个数学公式，若能从此角度考虑问题，我们的思维便可得以迁移，进而使值域可求。例9 求函数的值域。解：由两点间距离公式可知它表示动
10、点(x,1)到定点(-1,0)与(1,0)的距离和，如图。作A关于y=1的对称点A(-1,2)，由解几知识易知：PA+PB=PA+PBAB=即原函数的值域为十、消元转化法对于二元函数求值域，我们通常借助消元将它转化为一元函数，然后再求值域。但这时特别要注意的是自变量的取值范围的准确性，否则会导致结果错误。例10 已知，求的取值范围。练习1. 求函数，的值域.正解：配方，得，对称轴是当时，函数取最小值为2，的值域是2函数y=的值域是（ ）(A)(0,2 (B)-2,0 (C)-2,2 (D)(-2,2)3求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）
11、4函数在区间上的值域为则m值为（ ）A. B. C. D. 5已知函数若函数的定义域是R，求实数a的取值范围若函数的值域是R，求实数a的取值范围函数的性质一.函数的单调性：1.（1）增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说
12、函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.单调性的证明。3.复合函数单调区间的求法。例1函数y=的单调增区间是_.例2若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围二.函数的奇偶性：1.（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.2.奇偶性的判断：（1）定义域关于原点对称。（2）根据定义判断奇偶
13、性。3.奇偶性的性质：（1）奇函数关于原点对称，在关于原点对称的区间上单调性相同。（2）偶函数关于Y轴对称，在关于原点对称的区间上单调性相反。（3）若奇函数在原点有定义，则原点函数值等于零。例1判断函数的奇偶性.例2 判断的奇偶性.例3 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围例4 已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减三.函数的周期性：周期函数的定义:对定义在实数集上的函数,若存在非零常数,使得对定义域内的任意一个,都有,则称函数为周期函数,叫函数的一个周期。1.若定义在实数集上的函数有两条对称轴,则此函数是周期函数.2.若定义在实数集上的函数有两个对称中心,则此函数是周期函数.3.若定义在实数集上的函数有一条对称轴和一个对称中心, 则此函数是周期函数.
