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1、 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别定理5.6 设. (5.11)则(i)平衡点稳定 A的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块；(ii)平衡点渐近稳定 A的所有特征值实部为负.证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点的稳定性.设 . (注:与能控标准变换不同)其中为约当块，则.而的非零元素形如或或约当块阶数减1.如, 则 若. 则有界；若且对应一阶约当块也有界. 故有K 0， 使.其中对，取. 当时. 有,故稳定；(ii)若全为, 则全渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：.试判别的稳定性.解 (1) 由, 得(2重), 不稳定.(2) 由, 得和,因对
2、应一阶约当块是稳定的.(3) 由,得渐近稳定.若, 常用Hurwitz判别法(介绍).定理5.7 常系数n次代数方程的所有根的具有负实部下列不等式同时成立：.其中.例5.2 验证系统矩阵为时, 是渐近稳定的.证 由.得 及由Hurwitz判别法所有特征值有负实部渐近稳定.对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似)设n维非线性系统为, (5.12)且n维向量函数对有连续偏导.将在处展成泰勒级数, 得. (5.13)其中为的高阶项, 而称为雅可比矩阵.令和, 得线性化方程：. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A的所有
3、特征值实部为负, 则系统在平衡点是渐近稳定的, 且与无关；(ii) 若A的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点是不稳定的；(iii)若A的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点的稳定性与有关.例5.3 设非线性系统为试判平衡点的稳定性.解 由处的雅可比矩阵为, 得 在处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 这是一个在处稳定的系统.作一个”能量”函数,(正定)则 (势能, 动能)单调递减趋于0(因)这样的就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数.下面给出一般标量函数的正定、负定等概念.设标量函数且.若对任意, 有(i) , 则称是
4、正定的(半正定的)；(ii) , 则称是负定的(半负定的)；(iii) 有、也有, 则称是不定的.根据系统方程, 常取为的二次型函数, 即.P是实对称矩阵, 此时的正、负定性与P一致.而P的正定性由其主子行列式为正负来判定如 是半负定的；是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为. (5.15)是其平衡点.若存在标量函数(具有连续的一阶偏导数), 满足(i) 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的是半负定的.则平衡点是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为.若有标量函数(具有连续的一阶偏导), 满足(i) 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的是负定的；或者
5、(ii) 沿着方程(5.15)计算的是半负定的,且对来说,不恒为零,则平衡点是渐近稳定的.进一步, 若当时, 有,则平衡点是全局渐近稳定的.注 对(ii)的说明.由于为半负定, 所以在时, 或许有,可能会出现下图5.5的两种情形：定理5.10 系统方程、平衡点同定理5.9中假设相同.若标量函数(具有连续的一阶偏导).满足(i) 是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的也是正定的；则平衡点是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为.试分析稳定性.解 由, 得是其唯一的平衡点.构造.是正定的.对关于t求导, 得.代入状态方程得负定为一李雅普诺夫函数,且当时, 有为全局渐
6、近稳定(而且是一致的).对线性定常系统, 有定理5.11 设线性定常系统为,则平衡点是渐近稳定的对任意正定阵, 矩阵方程 (李雅普诺夫方程) (5.16)有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性.证(充分性)由, 满足(5.16), 作.对求导且将系统方程代入, 得.负定,且当时,有,平衡点为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为.试分析的稳定性.解 设.代入矩阵方程(5.16)式, 得.展开并令对应元素相等, 得唯一解.它的各主子式行列式.正定是渐近稳定.且系统是线性定常的所有平衡点是一致全局渐近稳定.注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.(2) 若对某, 矩阵方程(5.16)无解,则平衡点不是渐近稳定的.(3) 可以证明: 对线性定常系统,若平衡点是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定.即渐近稳定BIBO稳定反之不一定.如则是BIBO稳定,但是不稳定的.第 28 页 共 28 页
