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1、基础达标一、选择题1(2014湖北三校联考)已知数列an为等比数列，且a4a62a5，设等差数列bn的前n项和为Sn，若b52a5，则S9()A36B32C24 D22解析：选A.由a4a62a5，得a2a5，即a52，所以b54，S99b536.2若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析：选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等
2、差数列，故有2x2240，即x2x2400，解得x15或x16(舍去)3已知实数等比数列an中，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()A35 B33C31 D29解析：选C.由a2a3a1a42a1，得a42.又a42a7，a7.设等比数列an的公比为q，则a7a4q3，q3，q，a116，S531.4已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C.Snan1(a0)，an，即an.当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数
3、列；当a1时，数列an是一个等比数列5在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于()A6 B7C6或7 D8解析：选C.该程序框图的实质是输出以a164为首项，为公比的等比数列an的前n项的乘积Tna1a2an(n1,2，15)，由于a71，所以在Tn(n1,2，15)中，T6T7且最大二、填空题6夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ，已知山顶处的温度是14.8 ，山脚处的温度为26 ，则此山相对于山脚处的高度是_米解析：每升高100米温度降低0.7 ，该处的温度变化是一个等差数列问题山脚温度为首项a126，山顶温度为末项an14.8，d0.7.26(n1)(0.7
4、)14.8，解之可得n17，故此山相对于山脚处的高度为(171)1001 600(米)答案：1 6007(2014荆州市高中毕业班质量检测)设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2a52am，则m_.解析：设等比数列an的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，得S3S62S9，即S3S3(1q3)2S3(1q3q6)，即S3(q32q6)0，易知S30，所以q32q60，得q3，故a2a5a2(1q3)2a22a2q62am，则ama2q6，又显然q1.所以m8.答案：88设Sn是数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”若数列2bn是
5、首项为2，公比为4的等比数列，则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”解析：数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn是“和等比数列”答案：是三、解答题9在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列解：(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2
6、)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1.bn是一个以为首项，为公比的等比数列10(2014宜昌市高三模拟)“宜昌梦，大城梦”，当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造已知旧城区的住房总面积为64a(单位：m2)，每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为2a m2，前四年每年以100%的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少2a m2. (1)若10年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好
7、比当前的住房总面积翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？(2)设第n年(1n10，nN*)新区的住房总面积为Sn，求Sn.解：(1)10年后新城区的住房总面积为2a4a8a16a14a12a10a8a6a4a84a.设每年旧城区拆除的数量是x，则84a(64a10x)264a，解得x2a.即每年旧城区拆除的住房面积是2a m2.(2)设第n年新城区的住房建设面积为an，则an，所以当1n4时，Sn2(2n1)a；当5n10时，Sn2a4a8a16a14a2(12n)a30a(23nn246)a.故Sn.能力提升一、选择题1已知数列an，bn满足a11且an，an1是函数f(x)x2bnx2
8、n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析：选D.依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532.又因为anan1bn，所以b10a10a1164.2将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 0145()A2 0202 014 B2 0202 013C1 0102 014 D1 0102 013解析：选D.结合图形可知，该数列的第n项an234n2，所以a2 014
9、5452 01642 0132 0131 010.故选D.二、填空题3设数列an中，若an1anan2(nN*)，则称数列an为“凸数列”，已知数列bn为“凸数列”，且b11，b22，则数列bn的前2 014项和为_解析：由“凸数列”的定义，可知，b11，b22，b33，b41，b52，b63，b71，b82，故数列bn是周期为6的周期数列又b1b2b3b4b5b60，故数列bn的前2 014项和S2 014b1b2b3b412315.答案：54在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a是等差数列；已知数列a
10、n是等方差数列，则数列a是等方差数列；(1)n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列其中正确命题的序号为_解析：对于，由等方差数列的定义可知，a是公差为p的等差数列，故正确对于，取an，则数列an是等方差数列，但数列a不是等方差数列，故错对于，因为(1)n2(1)n120(n2，nN*)为常数，所以(1)n是等方差数列，故正确对于，若aap(n2，nN*)，则aa(aa)(aa)(aa)kp为常数，故正确答案：三、解答题5(2014四川成都市诊断性检测)设函数f(x)x2，过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(
11、x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，以此类推得点An，记An的横坐标为an，nN*.(1)证明数列an为等比数列并求出通项公式；(2)设直线ln与函数g(x)logx的图象相交于点Bn，记bnnn(其中O为坐标原点)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)证明：以点An1(an1，a)(n2)为切点的切线方程为ya2an1(xan1)当y0时，得xan1，即anan1.又a11，数列an是以1为首项，为公比的等比数列通项公式为an()n1.(2)据题意，得Bn()n1，n1)bnnn()n1()n1(n1)n()n1.Sn1()02()1n()n1，
12、Sn1()12()2n()n，两式相减，得Sn1()01()1()n1n()nn()n.化简，得Sn()()n.6(选做题)(2014武汉市高三供题训练)已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列解：(1)对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n
13、)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故数列an是首项为1，公差为4的等差数列，于是an1(n1)44n3.(2)证明：必要性：若数列an是公比为q的等比数列，则对任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q，所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列(2)充分性：若对于任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)，于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2a1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，从而an2qan10.因为an0，所以q，故数列an是首项为a
