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1、实验二 MATLAB矩阵分析与处理（2学时）一、实验目的1、掌握生成特殊矩阵的方法。2、掌握矩阵分析的方法。3、用矩阵求逆法解线性方程组。二、实验内容1、设有分块矩阵，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证。 E=eye(3); R=rand(3,2); O=zeros(2,3); S=diag(1:2); A=E,R;O,SA = 1.0000 0 0 0.4565 0.4447 0 1.0000 0 0.0185 0.6154 0 0 1.0000 0.8214 0.7919 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.0000 H=R+R*S
2、; D=S2; A2ans = 1.0000 0 0 0.9129 1.3341 0 1.0000 0 0.0370 1.8463 0 0 1.0000 1.6428 2.3758 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 4.0000 E,H;O,Dans = 1.0000 0 0 0.9129 1.3341 0 1.0000 0 0.0370 1.8463 0 0 1.0000 1.6428 2.3758 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 4.0000由上述ans=A2验证了。2、产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp
3、，判断哪个矩阵性能更好。为什么？ H=hilb(5)H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 P=pascal(5)P = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 Hh=det(H)Hh = 3.7493e-
4、012 Hp=det(P)Hp = 1 Th=cond(H)Th = 4.7661e+005 Tp=cond(P)Tp = 8.5175e+003答：5阶帕斯卡矩阵P的性能好。矩阵的性能是由条件数决定的，条件数越接近于1其性能就越好。由上机操作求得Th=4.7661e+005，Tp=8.5175e+003。Tp的值更接近于1则其性能要好。所以5阶帕斯卡矩阵P的性能好。3、建立一个55矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。 A=1:5;6:10;11:15;16:20;21:25A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
5、 23 24 25 B=det(A)B = 0 C=trace(A)C = 65 D=rank(A)D = 2 E=norm(A)E = 74.25414、已知求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。 A=-29,6,18;20,5,12;-8,8,5A = -29 6 18 20 5 12 -8 8 5 V,D=eig(A)V = 0.7130 0.2803 0.2733 -0.6084 -0.7867 0.8725 0.3487 0.5501 0.4050D = -25.3169 0 0 0 -10.5182 0 0 0 16.8351在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换，
6、它的特征向量（本征向量或称正规正交向量）是这样一个非零的向量v：当v 经过这个线性变换的作用之后，得到的新向量（长度也许改变）仍然与原来的v 保持在同一条线上。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。如果特征值为正，则表示v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。5、下面是一个线性方程组：（1） 求方程的解。（2） 将方程右边向量元素b3改为0.53，再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。（3） 计算系数矩阵A的条件数并分析结论。 format rat A=1/2,1/3,1
7、/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6A = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/4 1/5 1/6 format b=0.95;0.67;0.52b = 0.9500 0.6700 0.5200 X=AbX = 1.2000 0.6000 0.6000 b2=0.95;0.67;0.53b2 = 0.9500 0.6700 0.5300 X2=Ab2X2 = 3.0000 -6.6000 6.6000 D=cond(A)D = 1.3533e+003矩阵的条件数决定矩阵的性能，条件数越接近于1其性能越好，通过上机操作，求出系数矩阵的条件数为1.3533e+003
8、，和1相差很大，则其性能不好。6、建立A矩阵，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。 A=1,2,3,4,;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B=sqrtm(A)B = 0.3989 + 0.9420i 0.4517 + 0.4830i 0.5045 + 0.0240i 0.5573 - 0.4349i 0.9216 + 0.3669i 1.0436 + 0.1881i 1.1656 + 0.0094i 1.2876 - 0.1694i 1.4443 - 0.208
9、1i 1.6355 - 0.1067i 1.8267 - 0.0053i 2.0179 + 0.0961i 1.9669 - 0.7831i 2.2274 - 0.4016i 2.4878 - 0.0200i 2.7483 + 0.3616i C=sqrt(A)C = 1.0000 1.4142 1.7321 2.0000 2.2361 2.4495 2.6458 2.8284 3.0000 3.1623 3.3166 3.46413.6056 3.7417 3.8730 4.0000验证过程： D=B*BD = 1.0000 - 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 3.0000
10、 - 0.0000i 4.0000 - 0.0000i 5.0000 - 0.0000i 6.0000 - 0.0000i 7.0000 - 0.0000i 8.0000 + 0.0000i 9.0000 - 0.0000i 10.0000 - 0.0000i 11.0000 + 0.0000i 12.0000 + 0.0000i 13.0000 - 0.0000i 14.0000 - 0.0000i 15.0000 + 0.0000i 16.0000 + 0.0000i E=C.2E = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0
11、000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 D=Aans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0此验证没有还原A矩阵，不知道为什么？请老师帮忙解答。通过上机操作，sqrtm是对一个矩阵求平方根，即其值乘其值将还原成A矩阵，sqrt是对矩阵里的每一个元素求平方根，要对其还原，则要用点乘。三、实验小结通过本次实验对矩阵的一些求值由了很好的了解，对一些特殊矩阵也掌握了其生成方法。特别是对矩阵函数的一些区别有了一定的了解，通过这次实验，相信在以后的操作中不会出现对矩阵函数的混淆。但是对矩阵的性能知识还是不很了解，当一个矩阵性能好了又有什么用处呢？通过此次上机操作，掌握了线性方
