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1、构造法解二次函数应用题高良相 二次函数的实际应用非常广泛，近几年中考题中，有关抛物线型建筑物的应用题频频出现，如抛物线型隧道、拱桥、吊桥、大门等，现以北师大版数学九年级下册第二章的作业题为例，评点这类题目的解题策略。一. 解读课本作业题 例：（复习题C组第2题）一座抛物线型拱桥如图1所示，桥下水面宽度是4m时，拱高是2m。当水面下降1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m）图1 分析：由题意知，水面下降的高度和水面的宽度是两个变量，这两个变量之间存在着二次函数关系。要想求出水面下降1m后水面的宽度，需在图1中构建平面直角坐标系，把题设条件转化为抛物线，求出抛物线的函数关系式。图1为横截面示
2、意图，图中线段AB即为水面。 解：如图2，水面的宽度AB=4m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。由抛物线的对称性知，抛物线的顶点C在y轴正半轴上。图2 ，故A（-2，0），B（2，0），C（0，2）。设，则解得 。当水面下降时，。 这时，解得 水面宽度为。 解这道题的关键有两点：一是要构建适当的平面直角坐标系。平面直角坐标系是解函数题目的重要工具，这一步是构造与问题相关的数学模式，二是把题设数据转化为抛物线上点的坐标，用待定系数法求出抛物线的函数关系式，得到两个变量之间的具体关系，再根据一个变量的确定值求出另一个变量的对应值。该题考查综合应用数学知识解决实际问题
3、的能力，应引起同学们的重视。二. 解法探究与总结 由题意可知，构建平面直角坐标系的方法不是唯一的。如图3，以抛物线的顶点为原点构建平面直角坐标系；如图4，以A点为坐标原点构建平面直角坐标系。无论怎样构建平面直角坐标系，结果都是一样的，但要以计算方便为出发点。图3三. 难点、易错点简析 同学们在解该题时应注意以下三点。 （1）建立平面直角坐标系一定要具体写出以哪个点为原点，以哪条直线为x轴（或y轴）。 （2）在平面直角坐标系中求点的坐标要把握两点：以点到y轴的距离和点到x轴的距离分别确定点的横坐标的绝对值和纵坐标的绝对值；以点所在象限确定坐标的符号。 （3）在图2和图4中，以AB为x轴，水面与抛
4、物线交点的纵坐标为0，水面下降1m后，水面与抛物线交点的纵坐标为，故。在图3中，水面在x轴下方，距离x轴2m，水面与抛物线交点的纵坐标为，水面下降1m后，水面与抛物线交点的纵坐标为，故。y对应的x值就是水面与抛物线交点的横坐标。图4 练一练 1. 如图5，已知一抛物线型大门，其地面宽度AB=18m，一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直于地面立一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线型门上C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h。（答案：）图5 2. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）图6年级初中学科数学版本期数内容标题构造法解二次函数应用题分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词构造法解二次函数应用题栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入常丽霞一校胡丹二校审核3
