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1、 平面向量与三角恒等变换的认识以及教学建议 -人教社B版必修4第二,三章 2009.12 北师大二附中 高雪松一平面向量与三角恒等变换的地位与作用向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。我国是在1996年的时候在高中数学教学大纲中第一次引入了向量这个知识。向量作为高中数学新课程中的重要内容，在必修课程（数学4）和选修课程（系列21）中分别设置了平面向量与空间向量的内容。在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。三角函数作为传统
2、内容，一直是中学学习的重点内容和主干知识。然而新课标在三角恒等变换的内容、要求上有新的变化，应该引起我们的关注，并以此为指导此来把握好教学的度。对于被删减的内容不要随意补充；降低要求的内容不用随意加大难度，在教学中避免出现复杂的、技巧性强的三角变换训练题目；避免我们的教学偏离了课标要求的。二新课标，新教材与教学大纲的要求平 面 向 量大纲要求课标要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2、掌握向量的加法与减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意
3、义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。1通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。2通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。3通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。4了解向量的线性运算性质及其几何意义。5了解平面向量的基本定理及其意义。6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8理解用坐标表示的平面向量共线的条件。9通过物理中“功”等实例，
4、理解平面向量数量积的含义及其物理意义。10体会平面向量的数量积与向量正射影的关系。11掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。三 角 恒 等 变 换大纲要求课标要求1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。2、能正确运用三角公式，进行简单的化简、求值和恒等式证明
5、（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。2、能从两角差余弦公式导出两角和与的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。3、能运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导积化和差、和差化积,半角公式(公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等思想在三角恒等变换中的作用。三新课标与过渡教材的变化（一）在要求上：（二）在内容上：(三) 新加的名词和变化的结论，表示法：（四）减少的内容：（五
6、）消弱的内容：四 对使用新教材教学的几点建议（一）突出向量的物理背景，加深学生的直观感受 （二）注重向量的代数性质及其几何意义 (三) 合理引导学生用类比的方法进行学习（四）抓住主线，培养能力，关注数学思想和方法五 试验省市的高考题目1.(广东文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( c )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2.（广东理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( Ddd ) A. 6 B. 2 C. D. 3.（浙江文）已知向量，若向量满足，则 （ D
7、 ）A B C D 4.（北京文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( D )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域5.（北京理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( D ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向6.（全国理）设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为 ( D )A. B. C. D.7.（宁夏海南理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( C )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内
8、心8.（湖南文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( A )ABCD 图19.（宁夏海南文）已知，向量与垂直，则实数的值为(A )A. B. C. D.10.（福建文）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 的值一定等于 ( A )A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积11.（安徽文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _4/3_.0.w.w.k. 12.(山东理）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的
9、是（ C）A BC D13.(天津理）设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是（A）A-6，1 BC（-6，1 D-1，614.（上海理）函数的最小值是_ .15（上海理）已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=_ 14_时，.16(广东文)已知函数，则是（ d ）A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数17. (广东理)已知函数，则的最小正周期是_18.（广东文）已知简谐运动的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为 ( A )19. (海南、宁夏文)函数的最小值和最大值分别为（ C ）A
10、. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，20.（海、宁文理）函数在区间的简图是（A）21.（海、宁文理）若，则的值为（C） 22.(山东文、理)函数的图象是（ A ）yxOyxOyxOyxOABCD23.（江苏卷）设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：. 24.(广东理）已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（C，0）（1）若c=5，求sinA的值；（2）若A是钝角，求c的取值范围。答案：（1）；（2）；25.（北京文）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.解（）函数的最小正周期为.（）在区间上的最大值为1，最小值为.26.（广东理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）.（2），27.（湖南文）已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值。 解 （1）（2），或 2
