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1、线性代数试卷及答案6套.试卷（一）：一.填空题（每题4分，共20分）00、1 .正交矩阵P使得0 -1 0 ,那么PZ26（E + A）P =.、0 0 -2,2 .设A为阶方阵，4,4为A的个特征值，那么det（A2） =.3 .设4是矩阵，8是加维列向量，那么方程组AX = 3有无数多个解的充分 必要条件是：.4.假设向量组。=（0,4,2）向分=（2,3,1尸，7 =92,3）丁的秩为2,那么t =1_x5. Z)(x)=x5 115 2 -3彳c ,贝1)。(1)=。的全部根为:5 495 8 -27二.选择题（每题4分，共20分）01.行列式010 -1-1 0 的值为( 00).A
2、. 1一 1)C.(-1尸B. -1(+)D. (-1 尸2 .对矩阵A以施行一次行变换相当于（）.A.左乘一个机阶初等矩阵B.右乘一个机阶初等矩阵C.左乘一个阶初等矩阵D.右乘一个几阶初等矩阵.假设A为根x矩阵，A） = ,M = X|AX=O,XA,那么（ ）.A. M是机维向量空间B. M是维向量空间C. M是机-广维向量空间 D. M是拉-广维向量空间4.假设阶方阵A满足，42=0,那么以下命题哪一个成立（）.七、(6分)证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一 次多项式的乘积.八、(10分)用正交变换化以下二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正 交变换矩阵/（%
3、,，工3，工4）= 2为%2 +2%13 2%114 2%2%3 + 2%2X4 +2%3%4.试卷(六):一 .填空题(每题4分，共20分).设A是x 矩阵,如果对于任意的n维列向量B,线性方程组AX = 6总有解, 那么A的秩与利场的关系一定是 .1 .如果矩阵A是阶实对称矩阵,那么它的特征根一定为.2 .设。= (1,3,2,16,0),，= (2,3,1,0,3),那么det(4)=.4假设A为2011阶正交矩阵，那么它的伴随矩阵是.5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为P(J,i(Q),这个矩阵的逆 矩阵是: .二 .选择题(每题4分，共20分).如果将单位矩阵E的第i行乘
4、k得到的矩阵设为P(i(Z),那么P(左)是正定矩 阵的充要条件是：A,左 0; B, -1 Z: 0;C,攵=一1; D, knB, mn;C, AA也可逆D,以上都不对.2 .假设A为n阶可逆矩阵，那么以下命题哪一个成立A, (AA7)7 =ArA,B, (A + Ar)T = A，+AC. (A47)T =D, (A7 + Br), =(A- +B-)t.假设A是n阶矩阵，那么以下哪一个是反对称矩阵:A, A + A,，B,C, A7-A, D, -A47.如果以M为系数矩阵的线性方程组有非零解，那么：A, 的行列式为0,B, M的列向量线性无关C, M的行向量线性无关，D,以上都不对.
5、三.判断题（每题4分，共12分）（1）A3是阶矩阵，如果A 3相似，那么它们的特征值相同.（）（2）如果一个机x 矩阵的行向量组是维空间的一组基，那么它们的列向量 组也是机维空间的一组基.（）（3）如果一个对称矩阵A是正定的，那么它的所有的子式大于0.（）四.解以下各题（每题8分，共16分）11.求人二1 0e 111.求人二1 0e 11） 1的行向量组到列向量组的过渡矩阵.2.设 A= -1 -1 33 1 1 1 -12） 11是阶反对称矩阵，当几= 2011时，计算detA.的秩是2.勺1五 .（10分）求常数。也。使得矩阵A=：1 1J T六 .证明题（6分）设A是n阶可逆实数矩阵，
6、证明的特征值大于0七、（6分）证明对于任何一个n阶矩阵A,总存在正整数小，使得根 +A可逆.八、（10分）用正交变换化以下二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正 交变换矩阵试卷（一）解答:2. 4,. /j 3. rank(A) = rank(A B) | A | A* |=| A 13nl A=| A |2=| AA f|=| A4-1=E=1.2.a111=(4 + 3)1 1111 =(。+ 3)10001a 10010ci - 0100Q 1=(+3)mip3.由3有(A + )B = AB = (A + EyA =323023 _30，02I。0、0 b4323 04.（四101
7、224,q0001-20011101-1I n rank(a，=2, %, %) = 3,而向量组:线性无关,可得ra7:上(%,%,%) = 3 故 a1，%,5.5.%为一个最大线性无关组令 g=(1,2)丁 = xa + yp + zy , 那么有：3x+ z = 12x+ y- z = 2 解得： y = Qy + z = _ 1z =2一 (33的坐标为一,0,12 2J四解：23 -1-211273-10 -3 11-2 11 2A fl 1 -2 1-8 -4 0 40121-4 84 0 -4J10 0 001 2、0 10 0?原方程组同解下面的方程组:%1 + x2 - 2
8、x3 +x4+x5 = 2x2 - 2x3 -x4 = 1即:Xi + =2 + 2x3 一 % - w %2 = 1 + 2/ + x4令% = % = X5 = o,求解得:(L i, o, o, o) = n o齐次方程组基础解系为： 7 = (0,2,1,。,。), 2 = (-2,1,04,0), % = (-1,0,0,04),通解为 + ,+ a2r!? + a3rh 五.解:/(X),x2,x3) = XT AXA= 11010 1,A 1=(2-1)(2-2)(2+ 1)AE A| = 1 A 110n 4 = 1,22 = 2,丸3 = 1.当4=1 时，由(a 4)z=0
9、,求得基础解系：0、1 b当4=1时，由（4-4后）=。，求得基础解系：11-1当4=-1时，由（A-4石）=。，求得基础解系：-1单位化:单位化:2忑1下得 131312V6-AJLC 1V313-3 OJL后JL血=U令10 0、，那么U，AU= 0 2 0 e 0 -l假设 X = UR 那么 f = X，AX = y； + 2y； - y；.六.证明：设(Ji +7) + 2(&2 +)+ %(& +)+ =。，贝lj: 。苫+ a22 HF arr + (q + Var -0,于是 A(Q|O +242 + + ，dr +(/ +2 + + % + 人) ) = 0,即 +a2-ar
10、 +b)Ar/ = 0.但 Arj = 0 手 0,因此+。2 + + % + b = 0. 从而有。假设+ a?自2 + + a/). = 0.又。，会后线性无关，因此/=%= = %. =0.于是 b = Q.故有:+，2+,总+，线性无关.试卷（二）局部解答:.（3）向量组% =（0,2,3）。% =（233）1% = （I,=）,线性相关，求2 -13 2 =0,可求出, = 空.42 -13 2 =0,可求出, = 空.40解：%,见,火 线性相关o det（%,a, ,由）= 230二.（8分）设人=23 P0 0，且43 = A7+优求矩阵B.。2,解：AB= Ar + B (A
11、- E)B = Ar,1A-E= 2、01 0可逆，且（A-E）T =！23 -T1 -2 0 5 ,于是 B = (A-Ey1AT =1 23 -1Y01 -2 30、02)8-2、-4 叫五.（8分）求以下方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.3xj + 2%2 + Z 4%5 =10,Cl A11A-AE = 1a-A-1 =(o + l 4)2(-2 4) = 0,1 1 a A得特征值 4=4 = +1, 4 = a - 2.一对 4 = 4 = +1, A (a + 1)E = 1111 A ( -11 1 0 0-1 -1J 10 0-n0可得(A - (a + 1)E
12、)X = 0的一个基础解系为:TX, = 1 ,x2个正交化：取。=X1 = 1 ,昆=XOJ，2对，3 = a 2, A (a 2)E = 1112-1q1k0可得(A-(a-2)E)X=0的一个基础解系为：X?= 1J将配蜃多分别单位化，得:1/V6、-1 / a/6 , 3 二2/V6取正交变换以、(7，%，%) 丁21/行=1/V201/V6-1 / V62/V6,1/2-1/21M/疔1/V31/V31/V3 为1/V3 h，那么此正交变换将二次型/化为标准形：/ = (。+ Dy； +(a +1)货+ (-2)货./正定 oa + l 0且 20oa2.七.(10分)设三阶实对称矩阵A的特征值为3(二重根)、4(一重根)，% = (1,2,2)r是A的属于特征值4的一个特征向量,求A解：设A的属于特征值3的特征向量为X=，由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，那么有(%,X) = 0,即：M + 2+ 2当=。.此方程的一个
