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1、14.3.3一次函数与二元一次方程(组)北京市第八中学 黄炜教材：人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书八年级上册教学目标：1理解一次函数与二元一次方程(组)的关系2通过对实际问题的探讨和研究，进一步学习利用函数、方程(组)、不等式等知识解决问题的方法3在探究一次函数与二元一次方程(组)的关系的过程中，体会数学知识之间的内在联系，学会用函数的观点探究问题，进一步体会数形结合的数学思想4通过现实化的实际问题背景，反映祖国科技和经济的发展教学重点：一次函数与二元一次方程(组)的关系教学难点：用函数观点看待问题教学方式：教师启发讲授和学生自主探索相结合教学手段：计算机辅助教学教学过程：一创设情境，
2、提出问题(一)回顾在七年级下册二元一次方程组一章曾经做过的一个题目，展示学生的做法题目：根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元这个记录是否有误？为什么？解：设每支牙刷元，每盒牙膏元，则化简得因为两个方程等号左边相同，而等号右边，所以方程组无解所以记录有误教师提问：什么是方程组的解？方程组无解应该如何理解呢？设计意图：过去学生遇到的绝大多数二元一次方程组都有唯一的一个解，而这个方程组无解，从而引导学生思考什么样的方程组才有解，有解的方程组是否都是唯一解，什么样的方程组又无解呢？由此使学生在认知上形成
3、冲突，从而产生学习新知的需求(二)活动：请同学任意写出一个二元一次方程组，并解这个方程组，然后考考自己的同桌，看他能否迅速判断它是否有解接着教师请几位同学说出自己写的方程组，并迅速判断其解的情况设计意图：激起学生的好奇心并进行个人尝试，从而产生探索新知的强烈愿望二循序渐进，学习新知 (一)通过图片、视频介绍京津城际高速铁路设计意图：既创设了接下来将贯穿整节课的问题情景，也让学生感受到祖国经济和科技的发展 (二)探索一次函数与二元一次方程的关系题目一：在从北京到天津全长120千米的高速铁路上，现有一列平均速度为300千米/时的测试列车从北京开出分钟后，距离天津千米请问：(1) 列车开出5分钟，距
4、离天津的路程是多少？(2) 列车开出10分钟，距离天津的路程是多少？(3) 列车开出20分钟，距离天津的路程是多少？(4) 列车开出多少分钟，抵达天津？(5) 请写出一个含有和的等式，并解释其含义设计意图：通过动画演示，让学生初步了解和为两个变量；通过将第(1)至第(4)问的答案填入表格，直观反映了对于在一定范围内的每个值，都有唯一确定的值与其对应，从而说明是的函数；再由第(5)问得出二元一次方程和一次函数表示了同一个等量关系，同时可以变形化为，也就是说二元一次方程对应着一次函数，这个思考过程也是知识转化的过程. 请学生画出这个实际问题中的一次函数()的图象，并在图象上标出表示时，的点P(千米
5、)(分钟)P教师提问：请以点P(10,70)为例思考，说明一次函数()图象上点的坐标与二元一次方程的解有什么关系？设计意图：通过研究图象上的一个具体的点P (10,70)，引导学生讨论得出一次函数()图象上点的坐标是二元一次方程的解，反之也说明以二元一次方程的解为坐标的点在所画图象上教师提问：如果不考虑本题实际的背景，那么一次函数自变量的取值范围应是一切实数，图象是一条直线，那么直线上任意一点Q的坐标与二元一次方程的解有什么关系？设计意图：引导学生总结出二元一次方程对应着一次函数，也对应着直线教师提问：刚才我们研究了一个特殊的二元一次方程与一次函数及其图象的关系，那么是否任意一个二元一次方程(
6、a、b、c为常数，且)都与一次函数有上述对应关系？设计意图：引导学生总结出一次函数与二元一次方程的关系：(1)任意二元一次方程(a、b、c为常数，且)都可以化为，所以任意一个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应着一条直线(2)以二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上，这条直线上点的坐标都满足这个二元一次方程(三) 探索一次函数与二元一次方程组的关系(分钟)(千米)mnO题目二：在京津高速城际列车的某次会车试验中，有一列平均速度为300千米/时的A次测试列车从北京开往天津， 4分钟后，一列时速相同的B次列车从天津出发开往北京，设A次列车出发后运行的时间为x(单位:分钟)，则：(1)A次列车距
7、天津的路程y(单位:千米)关于x的函数表达式为_(自变量x的取值范围是_)；(2)B次列车距天津的路程y(单位:千米)关于x的函数表达式为_(自变量x的取值范围是_)(1)请在同一个坐标系中画出两个函数的图象(2)如果两图象交点的坐标为，请思考交点坐标的含义是什么？设计意图：通过对特殊图象交点坐标含义的讨论，引导学生从“数”和“形”两方面重新认识二元一次方程组的解nm教师提问：如果不考虑实际背景，将一次函数和的自变量取值范围扩展到一切实数，图象延伸为直线，刚才总结的交点坐标的含义还成立吗？设计意图：引导学生总结一次函数与二元一次方程组的关系：(1)构成方程组的两个二元一次方程，对应两个一次函数
8、，也对应两条直线(2)从“形”的角度看，二元一次方程组的解相当于两条直线交点的坐标；从“数”的角度看，二元一次方程组的解可以理解为当两个一次函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个相等的函数值三剖析例题，巩固新知例题：按计划，京津城际铁路上将同时开行平均速度为300千米/时的高速城际列车和途经天津的180千米/时的普通动车两种列车，同时铁路部门规定，高速铁路上同线同向行驶的两列车之间的安全距离不小于15千米在某次试运行中，有一列普通动车从北京开出17分钟后，另一列高速城际列车才从北京发车，为了保证两车间的安全距离，高速城际列车的司机至多在发车多少分钟后应制动减速(不考虑车长，以及列车速度变化的
9、过程)预案一：用一元一次方程求解；预案二：用一元一次不等式求解；预案三：用函数观点，即通过求图象交点坐标的方法求解 教师应注意学生解答的完备性，同时鼓励学生在运用熟悉的方程、不等式解法的基础上尝试从函数的角度用新方法解决设计意图：本题依然延续了京津城际铁路的大背景，既帮助学生巩固对一次方程(组)、不等式和一次函数的关系的理解，又培养学生从多角度解决问题的能力这个环节由学生自主探索、合作交流的形式完成，使学生获得一些分析和解决问题的方法和经验，发展其思维能力四解决问题，加深认识 1引导学生重新思考刚开始上课时提出的问题如何迅速判断方程组解的情况设计意图：通过判断方程组解的情况，更加深了学生对一次
10、函数与二元一次方程组的关系的理解，同时体会数形结合思想的应用 2课下探索：(1)探索是否存在一个二元一次方程组有且只有两个解，如果存在，请你构造一个这样的方程组；如果不存在，请说明为什么？(2)探索关于、的二元一次方程组(A1、A2、B1、B2均不为0)的解有几种情况，分别应满足什么条件，为什么？设计意图：引导学生在课下继续思考二元一次方程组解的情况与同一平面内两条直线不同位置之间的对应关系，从而进一步理解方程组解的图形解释，体会数形结合的思想五归纳小结，布置作业 1让学生充分讨论，积极发言，引导学生小结设计意图：通过小结，引导学生梳理所学内容及方法，用框图的形式加深对一次函数和一次方程关系的理解，体会数形结合的数学思想二元一次方程二元一次方程的解(无数个)一次函数直线直线上的点(无数个)坐 标 2课后作业必做作业：教科书习题14.3第5、9题选做作业：1教科书习题14.3第11题2探索是否存在一个二元一次方程组有且只有两个解，如果存在，请你构造一个这样的方程组；如果不存在，请说明为什么3探索关于、的二元一次方程组(A1、A2、B1、B2均不为0)的解有几种情况，分别应满足什么条件，为什么？设计意图：作业设计体现了分层教学的思想必做作业较为基础，为使所有同学能熟练运用函数观点解决问题；选做作业有较强的开放性，为学有余力的同学提供进一步思考的平台7
