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1、瓜豆原理一一主从动点问题初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相 似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主 动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题.瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动 时，从动点的轨迹相同.（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线， 谓之“瓜豆原理”.）满足条件：1 .两动一定；.动点与定点的连线夹角是定角；2 .动点到定点的距离比值是定值.结论：假设点。为定点，/POQ为定角a, 器为定值奴那么点。与点F的运动路径相同.方法：第
2、一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值.“瓜豆原理”其实质就 构造旋转、相似.涉及知识和方法：知识：相似；三角形的两边之和大于第三边；点到直线之间的距离垂线段最短； 点到圆上点共线有最值.位似型（主从一线）点。为定点，点F在定直线/上运动，点Q为线段。户的中点，点。的运动轨迹点A为定点，点P在定圆。上运动，点Q为线段AP的中点，点。的运动轨迹37故答案为：OP.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知 识，添加恰当的辅助线是解答此题的关键.变式1-5：
3、6. 如图，点 P (3, 4), 0P 半径为 2, A (2.8, 0), B (5.6, 0),点 M 是0P的 动点,点C是MB的中点，那么AC的最小值是【解析】【分析】【详解】如图，连接OP交P于M，连接OM.点 P (3, 4), A (2.8, 0), B (5.6, 0),OP=好+42 =5，AO=2.8, OB=5.6,.AB=5.6-2.8=2.8,OA=AB,又 I，CM=CB,AAC=-OM,2当OM最小时，AC最小，.当M运动到M，时，OM最小，1 i3此时 AC 的最小值二 OM= (OP-PM92 22考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中
4、位线定理变式1 一6：7. 如图，在等腰RtAABC中，AC=BC= 22，点F在以斜边AB为直径的半圆 上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为【答案】兀【解析】【分析】取人B中点。，连接OP, OG取。中点连接MD,由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知DM=、OP,可以推出点A7的运动轨迹是以2。为圆心，、0P为半径的半圆.2【详解】CB如下图，取A8中点。，连接。已0C,取。C中点。，连接 ABC为等腰直角三角形， AB = ylAC2 + BC2 =7(2)2+(2a/2)2 = 4.0P = -AB = 2,2:.MD = -OP = 192由题
5、意可知，点M的运动路径是以点。为圆心，以1为半径的半圆，,点M的运动路径长= 4x271X1 = 71 ,2故答案为：71 .【点睛】此题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等 腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点， 解答此题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹.变式17：8. 如图，AB为O。的直径，C为。上一点，其中AB=8, ZAOC=120, P为。O 上的动点，连AP,取AF中点Q,连C0那么线段G2的最大值为.【答案】27+2【解析】【分析】连接作CH _L A3于H, AQ = PQ,得到OQ AP, ZAQO = 90
6、。,点Q的 运动轨迹是以AO为直径的。K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最 大值，在ROCH 中，ZCOH = 60, OC = -AB = 4, OH=-OC = 2, CH = 23,2在RtCKH中，CK = (2a/3)2+42 = 27,即可求出线段G2的最大值.【详解】连接。，作CH LAB于H,AQ = PQ.得到 OQ AP, ZAQO = 90。,点Q的运动轨迹是以AO为直径的OK，连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ取得最大值，在R0CH 中，ZCOH = 60, OC = -AB = 4, OH =、OC = 2, CH = 2用,在 RCKH 中，CK
7、 = J(2厨+4? =2”, 线段CQ的最大值为：27 + 2.【点睛】考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度较大，得到点Q 的运动轨迹是以AO为直径的0K是解题的关键.模型二：全等旋转型例2：9. 如图，在直角坐标系中，A (4, 0),点B为y轴正半轴上一动点，连接 AB,以AB为一边向下做等边ABC,连接OC,那么OC的最小值为.【答案】2【解析】【分析】以Q4为对称轴，构造等边三角形ADF,作直线OC,交x轴于点先确 定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可.【详解】如图，以Q4为对称轴，构造等边三角形ADF,作直线OC,交X轴于点E,ABC, LADF都是等边三角
8、形，:.AB=AC9 AF=AD9 ZFAC+ZBAF=ZFAC-ZCAD=60o9:.ab=ac9 af=ad9 /baf=/cad,.8AF丝CAD,:.ZBFA=ZCDA=209:.ZODE=ZODA=60%:.ZOED=30。,OE=OA=49.点C在直线DE上运动，当OCLDE时,OC最小,此时OC0E=2,2故答案为：2.【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段 最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键.变式2-1：10. 如图，正方形ABCD中，AB=2赂,。是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接。匹，将线段DE绕点。逆时
9、针旋转90得DF,连接AE、【答案】5a/2-2.【解析】【分析】连接。，将线段。绕点。逆时针旋转90得DM,连接OF, FM, OM, 证明 EDOW4FDM,可得FM=OE=2,由条件可得OM=皿，根据OF+MFNOM, 即可得出OF的最小值.【详解】解：如图，连接将线段绕点Q逆时针旋转90得DM,连接OF,FM, OM,9： ZEDF=ZODM=9Q ,:.ZEDO=ZFDM9.：DE=DF, DO=DM,:.AEDOAFDM (SAS),:.FM=OE=29.正方形ABCD中，AB=20,。是BC边的中点， OC= yj5， OD= 7(2a/5)2+(a/5)2 =5, OM= J5
10、2 +52 = 55/2，OF+MFNOM, OFN 52 - 2，线段。尸长的最小值为5x-2 .故答案为：52-2-【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系， 熟练掌握并准确应用是解题的关键.变式2 2：11. 如图，。的半径为1,点F是。上的一点，将点F绕点A (-4, 0)逆时 针旋转60。得到点Q,那么点尸在OO运动时，点Q也随之运动，连接求当 点P在。上运动时，求。的最小值.【解析】【分析】将绕点人顺时针旋转60。得到A8,易证LABO是等边三角形，将人户绕 点A顺时针旋转60。得到AQ,易证MPQ是等边三角形，易证 APOAQB,得到 QB=PO=1
11、,点。满足了到定点的距离等于定长，从而确定点。的轨迹是以8为圆 心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质可以确定。的最小值.【详解】.点A (-4, 0),.OA=4,如图，将A。绕点A顺时针旋转60。得到A3AB=AO, ZOAB=60, A3。是等边三角形，.04=03=4,将AP绕点A顺时针旋转60。得到AQ,9：AP=AQ, /H1Q=6O。，.AP Q是等边三角形，Z OAP+ZPAB= Z QAB+ ZPAB=60,:.ZOAP=ZQAB,QB=PO=1,.点Q满足了到定点的距离等于定长，.点Q的轨迹是以B为圆心，以1为半径的圆，根据圆的基本性质，得当B, Q,。三点一线时，0。取得最
12、小值， 此时 OQ=OB-BC=4A=3.【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆的定 义和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，灵活运用圆的定义和 性质是解题的关键.变式2-3：12. 如图，A是0B任意一点，点C在B外，己知AB = 2, BC=4, AACD是 等边三角形，那么BCD的面积的最大值为（）A. 43+4 B. 4C. 43 +8 D. 6【答案】A【解析】【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM,证明DCM =ACBSAS） 得至WM = AB = 2,分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆, 在求出点D到BC
13、的最大距离，即可求出面积最大值.【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM,ZDCA = ZMCB = 60 ,ZDCAZACM = ZMCBZACM ,即 ZDCM = ZACB在ADCM和AC3中,DC = AC ZDCM = ZACB ,MC = BCZ. aDCM =aACB（SAS）,DM = AB = 2,.点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使BCD面积最大，那么求出点D到线段BC的最大距离，aBCM是边长为4的等边三角形，点M到BC的距离是20,点D到BC的最大距离是2右+ 2，?. ABCD的面积最大值是?x 4x（23 + 2）= 4右+ 4
14、 . 应选：A.【点睛】此题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动 点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值.变式2-4：13. 如图，正方形ABCD中，AB = 3cm,以B为圆心，1cm长为半径画0B,点P 在0B移动，连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90至AP，,连接BP.在点P移动的过程中，BP长度的最小值为cm.【答案】32-1【解析】【分析】通过画图发现，点P的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知： 当P在对角线BD上时，BP最小，先证明 PABAP7 AD,那么P D=PB=1,再利 用勾股定理求对角线BD的长，那么得出BP，的长.【详解】如
15、图，旋转型（0。在0P绕点Q顺时针旋转Q的方向）点。为定点，ZPOQ= a且。Q = OP ,点P在定直线/ （定圆0M）上运动，那么点Q 的运动轨迹模型一：位似型例1:1. 如图，匕840 = 90。，AB = AD = 4,点C为平面内一动点，且BC = 2,点M为线段CD中点，那么线段AM的取值范围为【答案】2a/5-V2扼+ 1【解析】【分析】连接8D,取8Z）的中点N,连接AN,MN ,先根据三角形中位线定理可得MN = 1,再根据勾股定理、直角三角形的性质可得AN = 2，然后分三种情况, 根据三角形的三边关系、线段的和差即可得.【详解】解：如图1,连接BD,取8D的中点N,连接AM,连接BP,由旋转得：AP二AP , ZPAP7 =90 ,./PAB+/BAP
