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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质【考题分类】（一）选择题（共13题）1.（福建卷理11文12）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B.C.(3,+) D.解：如图，设，当P在右顶点处，另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。2.（海南宁夏
2、卷文2）双曲线的焦距为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 4【标准答案】 【试题解析】由双曲线方程得，于是，选【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量的关系与椭圆混淆，而错选【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3.（湖南卷理8）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)【答案】B【解析】或(舍去),故选B.4.（湖南卷文10）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取
3、值范围是( )A B C D 【答案】C【解析】而双曲线的离心率故选.5.（辽宁卷文11）已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则（ ）A1 B2 C3 D4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。取顶点,一条渐近线为6.（全国卷理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）AB C D【答案】B【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题7.（全国卷文11）设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意,所以，由双曲线的定义，有，【高考
4、考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用8.（陕西卷理8文9）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D解：如图在中， ， 9.（四川卷文11）已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( )（） （） （） （）【解1】：双曲线中 作边上的高，则 的面积为 故选C【解2】：双曲线中 设， 则由得又为的右支上一点 即解得或（舍去）的面积为 故选B【点评】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2
5、利用待定系数法求点坐标，有较大的运算量；10.（浙江卷理7文8）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是 （A）3 （B）5 （C） （D）解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为，依题即，双曲线的离心率11.（重庆卷理8）已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为（A）=1(B) (C)(D)解：， 所以12.（重庆卷文8）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为(A)2(B)3(C)4 (D)4 【答案】C【解析】本小题主要考查双
6、曲线和抛物线的几何性质。双曲线的左焦点坐标为：，抛物线的准线方程为，所以，解得：，故选C。13（四川延考理7文7）若点到双曲线的一条淅近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）解：设过一象限的渐近线倾斜角为所以，因此，选A。（二）填空题（共5题）1.（安徽卷理14）已知双曲线的离心率是。则 解：，离心率，所以2.（海南宁夏卷理14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，建立方程组，得交点纵坐标，从而3.（江西卷文14）已知双曲线的两条渐近线方程为，
7、若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 解析：4.（山东卷文13）已知圆以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为5.（上海春卷7）已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 解析：由题知a=1,故（三）解答题（共7题）1.（湖北卷文20）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程解：()
8、解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0a24），将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求双曲线方程为解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2，b2=c2a2=2. 双曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得x1+x2=于是|EF|=而原点O到直线l的距离d,SOEF=若SOEF，即解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和解
9、法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得|x1x2|.当E、F在同一支上时（如图1所示），SOEF|SOQFSOQE|=；当E、F在不同支上时（如图2所示），SOEFSOQFSOQE综上得SOEF，于是由|OQ|2及式，得SOEF.若SOEF2，即,解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，方程分别为y=和y=2.（江西卷理21）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.（1）求证：三点共线。（2）过点作直线的垂线，垂足为，
10、试求的重心所在曲线方程.证明：（1）设，由已知得到，且，设切线的方程为：由得从而,解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上又也在直线上,所以三点共线（2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得由 可得即为重心所在曲线方程3.（全国卷理21文22）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（）设，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,则离心率（）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为
11、。4. （上海卷理18）已知双曲线，为上的任意点。（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；【解析】（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和. 2分点到两条渐近线的距离分别是和， 4分它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. 6分（2）设的坐标为，则 8分 11分 ， 13分 当时，的最小值为，即的最小值为. 15分5.（上海卷文20）已知双曲线（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点的坐标为设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点记求的取值范围；（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点记为经过原点与
12、点的直线，为截直线所得线段的长试将表示为直线的斜率的函数【解】（1）所求渐近线方程为 .3分（2）设P的坐标为，则Q的坐标为， .4分 7分的取值范围是 9分（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线的斜率11分由计算可得，当当15分 s表示为直线的斜率k的函数是.16分6.（天津卷理21文22）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分14分（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点
