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1、弄清“至少”不容易浅谈对人教版“数学广角”抽屉原理中“至少”的理解在现代汉语词典的注释中，“至少”一词是这样定义的：副词，表示最小的限度。通俗的理解就是最少的，不能比这更少了。如至少有500人参加了音乐会；又如从这儿走到学校，至少要半个小时。在人教版小学数学新课标教材中，也经常在文字叙述中出现“至少”一词。如六年级(下册)“数学广角-抽屉原理”中例1:把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒中至少放进2枝铅笔。我们发现，在教学中学生很容易用字面的含义孤立地理解为把4枝铅笔放进3个文具盒中，有一个盒子里至少放进0枝才对呀！怎么会是2枝呢？显然，他们是利用直觉经验或定势思维来给至少取
2、值，是比较片面的。那么该如何理解这里的“至少”呢？下面谈谈个人的一些思考。一、“物体数不少于抽屉数”-“至少”的前提“物体数不少于抽屉数”是讨论抽屉原理中“至少”含义的前提。抽屉原理也正是在这个前提下，才有多样的变化，才有数学研究的价值。试想。如果物体数比抽屉数少，那么不管怎么放，总有抽屉会空着。如3枝铅笔任意放进4个盒子，可能有(3,0,0,0)，(2,1,0,0)，(1,1,1,0,)三种放法，这里就不存在“总有一个抽屉至少有”的多样化问题，而是至少有一个抽屉是空的。二、“最多中找最少”-“至少”的关键在物体数最多的抽屉中找最少的物体个数，这是理解“至少”含义的关键。我们来看下面这个“数学
3、广角-抽屉原理”的教学片段。1.把4枝铅笔放进3个铅笔盒中出示题目：把4枝铅笔放进3个铅笔盒中，怎么放？有几种不同的放法?学生先思考然后在组内动手操作，教师强调不考虑盒子的顺序。师:谁来展示一下你摆放的情况？根据学生摆的情况，教师演示各种情况：（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1）。师:铅笔盒中的枝数有哪几种不同的情况呢？生:0枝、1枝、2枝、3枝、4枝。师:看来,不管怎么放，总有一个铅笔盒放的枝数是最多的，同学们能找出来吗？生1：第一种摆法中，总有一个铅笔盒要放进4枝铅笔。生2:那第二种摆法中，总有一个铅笔盒要放进3枝铅笔。师:4枝铅笔放进3个铅笔盒中，不管怎么摆总有
4、一个铅笔盒放的枝数是最多的，可能是2枝、3枝或4枝。2.把5枝铅笔放进4个铅笔盒中师:把5枝笔放进4个铅笔盒中你能根据刚才的操作直接填写下表吗?学生完成后汇报，教师出示完整表格。盒1盒2盒3盒4摆法15000摆法24100摆法33200摆法43110摆法52210摆法62111师:观察表格，你又有什么发现呢？生:不管怎么放，总有一个铅笔盒中放的枝数是最多的，2枝、3枝、4枝或5枝铅笔。师：“总有一个铅笔盒中放的枝数是最多的,2枝、3枝、4枝或5枝”还可以怎样说？生:总有一个铅笔盒中至少放进2枝铅笔。师:至少是什么意思？生:最少。师:刚才我们将4枝铅笔放进3个铅笔盒中，你也能这样来描述一下吗？生
5、:将4枝铅笔放进3个铅笔盒中.总有一个铅笔盒中至少放进2枝铅笔。在抽屉原理中，“总有一个”、“至少”这两个关键词的解读和为了达到“至少”而进行“平均分”的思路，以及把什么看做物体，把什么看做抽屉，这样一个数学模型的建立，学生学起来颇具难度。在上述片段中,老师通过让学生直观操作、抽象列表,经历在“最多”中找“至少”的过程，引导学生用准确的数学语言来表达，较好地帮助学生理解了“至少”的含义。三、“一定没有意外”-“至少”的保证抽屉原理的核心是解决存在性问题。“总有一个抽屉”或“一定有一个抽屉”或“保证有一个抽屉”，其实均可认为是“一定没有意外”地存在一个抽屉满足要求。满足要求的抽屉可能有多个.但是
6、这里只需要证明一定没有意外地存在一种符合要求的抽屉就可以了。要保证一定没有意外，我们常用的思路是“极端法”，即人们常说的最不利原则。也就是说，我们只要能保证在最不利的情况下，某种现象存在，那么一般情况下这种现象就一定存在。例如从一副扑克牌中取出大小王。在剩下的52张牌中至少要抽出（）张，才能保证一定有两张牌是同花色的。分析:最有利的情况是任意抽2张，恰好同色。但问题是如果第二张不同色呢！所以至少2张是不能保证“一定没有意外”的。我们再从最不利的情况来分析：抽第一张红桃，第二张方块，第三张梅花，第四张黑桃，前四张均不同花色，再看第五张，第五张不管是什么花色，都能保证“一定没有意外”地有两张同花色
7、。所以至少要抽出5张，才能保证一定有两张牌是同花色的。抽屉原理中“至少”的理解.它不同于一般语境中的含义。它既要有物体数不少于抽屉数的前提又是一种在最多中找最少的全新思维方式，还要保证是一定没有意外的极端情况，因而弄清其含义对小学生来说是有难度的。学生以前接触的数学问题，全部是由数量及数量关系组成的，解决问题时基本是用算术知识或几何知识，极少用到证明、推理。因此在这部分教学中，我们要注意以下的教学策略，帮助学生领会“至少”的含义。一是在合理的教学标高中理解“至少”。“抽屉原理”原来属于课外“奥数”的内容，但是编者把它放在数学广角里，面向全体学生，这就要求我们做高“合理标高”，说通俗一点，即：内
8、容相同，要求不同。旨在通过让学生经历“数学证明”的过程，渗透一定的数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力，为以后学习严密的数学证明做准备。在小学阶段，不要求学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，只要能用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释就可以了，并且要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜想和验证。在这个标高上来理解“至少”，相信能给我们的教学带来帮助。二是要在“模型”思想中理解“至少”。“抽屉原理”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉原理”联系起来，能否找到该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响能否解决问题的关键。因此在教学中要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴；如果可以，那么再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉原理“的一般模型：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k为正整数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。
