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1、“平均数”教学实录与评析执教：南京市北京东路小学 张齐华评析：北京教育学院 刘加霞一、建立意义师：喜欢体育运动吗？生齐：喜欢！生：我最喜欢乒乓球。生：我最喜欢足球。师：想不想了解张老师最喜欢的体育运动？生：想！师：如果张老师告诉大家，我最喜欢，并且最拿手的体育运动项目是篮球，你会相信吗？生：不相信。生：我也不信。篮球运动员通常都很强壮，就像姚明或乔丹那样。张老师，您也太瘦了点。（笑）师：真是哪壶不开提哪壶啊。不过还别说，和你们一样，我们班上的小强、小林、小刚对我的投篮技术也深表怀疑。就在上星期，他们三人还约我进行了一场“1分钟投篮挑战赛”。怎么样，想不想了解现场的比赛情况？生齐：想！师：首先出
2、场的是小强。他1分钟投中了几个球呢？让我们一起来看看。（呈现小强1分钟投中的个数）生：他投中了5个。师：没错。可是，小强对这一成绩似乎不太满意，觉得好像没有发挥出自己的真正水平，想再投两次。如果你是张老师，你会同意他的要求吗？生：我不同意。万一他后面两次投多了，那我不就危险啦！生：我会同意的。做老师的应该大气一点。就让你多投几次，估计也不是我的对手。（笑）师：呵呵，还真和我想到一块儿去了。不过，小强后两次的投篮成绩很有趣。想看看吗？生齐：想。教师出示小强的后两次投篮成绩： 5个、5个。学生会心地笑了。师：还真巧，小强三次都投中了5个。现在看来，要表示小强1分钟投中的个数，用哪个数比较合适？生：
3、5。师：为什么？生：他每次都投中5个，用5来表示他1分钟投中的个数，最合适了。师：说得有理！接着该小林出场了。小林1分钟又会投中几个呢？我们也一起来看看吧。出示小林第1分钟投中的个数：3个。师：如果你的小林，就这样结束了？生：不会！我也会要求再投两次的。师：为什么？生：这也太少了，肯定是发挥失常。生：如果只投这1分钟，就连小强都比不过，更不要说和张老师比了。师：真是心有灵犀一点通！正如你们所说的，小林果然也要求再投两次。不过，麻烦来了。（教师出示小林的后两次成绩：5个、4个）三次投篮，结果怎么样？生齐：不同。师：是呀，三次成绩各不相同。这一回，又该用哪个数来表示小林1分钟投篮的一般水平呢？生：
4、我觉得可以用5来表示。因为他最多一次投中了5个。如果用4或3表示，那他肯定不是张老师的对手。生：我不同意！小强每次都投中5个，所以用5来表示他的成绩。但小林另外两次只投中4个和3个，怎么能用5来表示呢？师：也就是说，如果也用5来表示，对小强来说生齐：不公平！师：那该用哪个数来表示呢？生：我觉得可以用4来表示。因为3、4、5三个数，4正好在当中，最能代表他的成绩。师：不过，小林一定会想，我毕竟还有一次投中5个，比4个多1呀？生齐：那他还有一次只投中3个，比4个少1呀。师：哦，一次比4多1，一次比4少1生：那么，把5里面多的1个送给3，这样不就都是4个了吗？教师结合学生的交流，呈现移多补少的过程如
5、下图（图1）。图1师：数学上，像这样从多的里面移一些补给少的，使得每个数都一样多。这一过程就叫“移多补少”。移完后，小林每分钟看起来都投中了几个？生齐：4个。师：能代表小林1分钟投篮的一般水平吗？生齐：能！师：该轮到小刚出场了。（出示下图）小刚也投了三次，成绩同样各不相同。这一回，又该用几个来代表他一分钟投篮的一般水平呢？同学们先独立思考，然后再在小组内交流自己的想法。生：我觉得可以用4来代表他一分钟的投篮水平。他第二次投中7个，最多，可以移1个给第一次，再移2个给第三次，这样每一次看起来好象都投中了4个。所以用4来代表比较适合。结合学生交流，教师再次呈现移多补少过程如下图（图2）。图2师：还
6、有别的方法吗？生：我们先把小刚三次投中的个数相加，得到12个，再用12除以3等于4个。所以，我们也觉得用4来表示小刚1分钟投篮的水平比较合适。师：别急，老师把你的算式写下来（板书：3+7+2=12次，123=4次）。象这样先把每次投中的个数合起来，然后再平均分给这三次（板书：合并、平分），能使每一次看起来一样多吗？生：能！都是4个。师：能不能代表小刚一分钟投篮的一般水平？生：能！师：其实，无论是刚才的移多补少，还是这回的先合并再平均分，目的只有一个，那就是生：使原来几个不相同的数变得同样多。（板书：同样多）师：数学上，我们把通过移多补少后得到的同样多的这个数，就叫做原来这几个数的平均数。（板书
7、课题：平均数）比如，在这里（出示图1），我们就说4是3、4、5这三个数的平均数。那么，在这里（出示图2），哪个数又是哪几个数的平均数呢？在小组里说说你的想法。生：在这里，4是3、7、2这三个数的平均数。师：不过，这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗？生：不能！师：能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗？生：也不能！师：奇怪，这里的平均数4既不能代表小刚第一次投中的个数，也不能代表他第二、第三次投中的个数，那它究竟代表的是哪一次的个数呢？生：这里的4代表的是小刚三次投中的平均水平。生：是小刚1分钟投篮的一般水平。教师板书：一般水平师：最后，该谁出场了？生：张老师。师：知道自己投篮水平不乍地，
8、所以正式比赛前，我主动提出想投四次的要求。没想到，他们竟一口答应了。前三次投篮已经结束，怎么样，想不想看看我每一次的投篮情况？生：想！教师呈现前三次投篮成绩：4个、6个、5个，如下图。师：猜猜看，三位同学看到我前三次的投篮成绩，可能会怎么想？生：他们可能会想，完了完了，肯定输了。师：从哪儿看出来？生：你们看，光前三次，张老师平均一分钟就投中了5个，和小强并列第一。更何况，张老师还有一次没投呢。生：我觉得不一定。万一张老师最后一次发挥失常，1个都没投中，或只投中一两个，张老师也可能会输。生：万一张老师最后一次发挥超常，投中10个或更多，那岂不赢定了！师：情况究竟会怎么样呢？还是让我们赶紧看看第四
9、次投篮的成绩吧。课件出示下图。师：凭直觉，张老师最终赢了还是输了？生：输了。因为你最后一次只投中了1个，也太少了。师：不计算，你能大概估计一下，张老师最后的平均成绩可能是几个？生：大约是4个。生：我也觉得是4个。师：英雄所见略同呀。不过，第二次我明明投中了6个，为什么你们不估计我最后的平均成绩是6个。生：不可能，因为只有一次投中6个，又不是次次投中6个。生：前三次的平均成绩只有5个，而最后一次只投中1个，平均成绩只会比5更小，不可能是6个。生：再说，6个是最多的一次，它还要移一些补给少的。所以不可能是6个。师：那你们为什么不估计平均成绩是1个呢？最后一次只投中1个呀。生：也不可能。这次尽管只投
10、中1个，但其他几次都比1个多，移一些补给它后，就不止1个了。师：这样看来，尽管还没得出结果，但我们至少可以肯定，最后的平均成绩应该比这里最大的数生：小一些。生：还要比最小的数大一些。生：应该在最大数和最小数之间。师：是不是这样呢？赶紧想办法算算看吧。学生列式计算，并交流计算过程：4+6+5+1=16（个）164=4（个）师：和刚才估计的结果比较一下，怎么样？生：的确在最大数和最小数之间。师：现在看来，这场投篮比赛生：张老师输了。师：你们觉得，问题主要出在哪儿？生：最后一次投得太少了。生：如果最后一次多投几个，或许你就会赢了。师：试想一下，如果张老师最后一次投中5个，甚至更多些，比如9个，比赛结
11、果又会如何呢？同学们可以先通过观察估一估，也可以动笔算一算。然后在小组里交流你的想法。课件出示下图。学生估计或计算，随后交流结果。生：如果最后一次投中5个，那么只要把第二次多投的1个移给第一次，很容易看出，张老师1分钟平均能投中5个。师：你是通过移多补少得出结论的。有不同的方法吗？生：我是列式计算的。4+6+5+5=20（个），204=5（个）。结果也是5个。生：我还有补充！其实不用算也能知道是5个。大家想呀，原来第四次只投中1个，现在投中了5个，多出4个。平均分到每一次上，正好多出来1个。结果自然也就是5个了。教师相机出示下图。师：能理解？生：能！师：既然这样，那么，最后一次如果从原来的1个
12、变成9个，平均数又会增加多少呢？生：应该增加2。因为9比1多8，多出的8个再平均分到四次上，每次只增加了2个。所以平均数应增加2个。生：我是列式计算的，4+6+5+9=24（个），244=6（个）。结果也是6个。二、深化理解师：现在，请大家观察下面的三幅图，你有什么发现？把你的想法在小组里说一说。教师相机出示下图。学生独立思考后，先组内交流想法，再全班交流。生：我发现，每一幅图中，前三次成绩不变，而最后一次成绩各不相同。师：最后的平均数生：也不同。师：看来，要使平均数发生变化，只需要改变其中的几个数？生：一个数。师：瞧，前三个数始终不变，但最后一个数从1变到5再变到9，平均数生：也跟着发生了变
13、化。师：难怪有人说，平均数这东西很敏感，任何一个数据的风吹草动，都会使平均数发生变化。现在看来，这话有道理吗？生：有！师：其实呀，善于随着每一个数据的变化而变化，这正是平均数的一个重要特点。未来的数学学习中，我们将就此作更进一步的研究。还有别的发现吗？生：我发现平均数总是比最大的数小，比最小的数大。师：能解释一下为什么吗？生：很简单。多的要移一些补给少的，最后的平均数当然要比最大的小，比最小的大了。师：其实，这正是平均数的又一个重要特点。利用这一特点，我们还可以大概地估计出一组数据的平均数呢。生：我还发现，总数每增加4，平均数并不增加4，而是只增加1。师：那么，要是这里的每一个数都增加4，平均
14、数又会增加多少呢？还会是1吗？生：不会，应该增加4。师：真是这样吗？课后，同学们可以继续展开研究。或许，你们还会有更多的新发现！不过，关于平均数，还有一个非常重要的特点，还隐藏在这几幅图当中。想不想了解？生：想！师：以第一幅图为例。仔细观察这幅图，有没有发现，这里有些数超过了平均数，而有些数还不到平均数。（学生点头示意）比较一下超过的部分与不到的部分，你发现了什么？生：超过的部分和不到的部分都是3个，一样多。师：会不会只是一种巧合呢？让我们赶紧再来看看另两幅图吧？生：（观察片刻）也是这样的。师：这儿还有几幅图（出示小刚、小林一分钟投篮情况统计图），情况又怎么样呢？生：超出部分和不到的部分还是同
15、样多。师：奇怪，为什么每一幅图中，超出平均数的部分和不到平均数的部分都会一样多呢？生：如果不一样多，超出部分移下来后，就不可能把不到的部分正好填满。这样就得不到平均数了。生：就像山峰和山谷一样。把山峰切下来，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。师：多生动的比方呀！其实，像这样，超出平均数的部分和不到平均数的部分一样多，这是平均的又一个重点特点。把握了这一特点，我们还可以巧妙地解决相关的实际问题呢。课件出示如下三张纸条。师：张老师大概估计了一下，觉得这三张纸条的平均长度大约是10厘米。（呈现下图）不计算，你能根据平均数的特点，大概地判断一下，张老师的这一估计对吗？生：我觉得不对。因为第二张纸条比10厘米只长了2厘米，而另两张纸条比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它们的平均长度不可能是10厘米。师：照你看来，它们的平均长度会比10厘米长，还是短？生：应该要短一些。生：大约是9厘米。生：我觉得是8厘
