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1、探访莱布尼茨：与大师穿越时空的碰撞数学家的故事，莱布尼茨和微积分和牛顿，秘密手稿揭秘，谁发明了微积分，最早发明计算机的人是谁？编辑的话：莱布尼茨是17世纪时著名的哲学家和数学家，在其他诸多领域亦成就非凡。他所著如密码般的数学笔记，体现了他的微积分思想、方法和符号，虽然这小册子从未公开发表。而本文作者史蒂芬沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）则的英国物理学家、数学家、软件工程师和企业家，也是文中一再提到的数学软件 Mathematica 和在线自动问答系统、被称为知识型计算引擎的Wolfram Alpha的开发者。本文编译自他的博客文章拜访莱布尼茨（Dropping In on Gott
2、fried Leibniz）。（文/Stephen Wolfram）多年来，我都对戈特弗里德莱布尼茨很感兴趣，尤其是因为早在3个世纪以前，他就似乎想要制造一种类似Mathematica和Wolfram Alpha的工具，没准还可能会写本一种新科学。所以，在最近一次德国之旅中，我对能够拜访坐落在汉诺威的莱布尼茨文献馆感到兴奋不已。翻阅着他发黄的手稿（仍旧够挺，经得起我触碰），我试着想象他写下这些篇章时的思绪，试图将我在这里看到的与3个世纪后我们所掌握的知识联系起来这时，我感到了一种共鸣。其中的一些记载，尤其是数学方面的，简直超越了时间，比如说下图中莱布尼茨写下的收敛于2的无穷级数（文字为拉丁文）
3、：莱布尼茨写下的收敛于2的无穷级数又例如下图中，莱布尼茨试图计算该连分数的值，尽管他的算法是错误的，但他仍把整个过程记录了下来（其中的“”相当于等号的早期版本）：计算连分数的值，虽然算法错了，但莱布尼茨仍然记录下了整个过程。再比方说下图中对微积分的一点总结，几乎能够列入现代的教科书：莱布尼茨对微积分的一点总结但除此之外还有什么？莱布尼茨的工作及思想的宏观图景又是怎样的？我一直都觉得莱布尼茨的形象有些令人难以捉摸。他做了很多看似迥然不同且毫不相关的事情涉及了哲学、数学、神学、法学、物理学、历史学，不一而足。而他用来描述自己工作的语言在我们今天看来又都是来自17世纪的陌生措辞。但是，随着我的进一步
4、了解，以及对莱布尼茨这个人更深入的体会，我察觉到了隐藏在他诸多成果下的核心思维方向，而这一思维方向与我所奉行的现代计算机理念不谋而合。对知识系统化和结构化的追求1646年（伽利略逝世后第4年，也是牛顿出生后的第4年），戈特弗里德莱布尼茨出生在现属于德国的莱比锡地区。他的父亲是一位哲学教授，母亲出身于图书贸易家族。莱布尼茨6岁那年，父亲去世。考虑到他年幼，2年后莱布尼茨才被允许进入父亲的书房，开始在其中徜徉书海。他于15岁进入当地大学学习哲学和法律，并在20岁时从这两门专业毕业。即便在志学之年，莱布尼茨似乎就对知识的系统化和规范化很感兴趣。曾有过这样一类模糊的观点长期存在例如14世纪拉蒙柳利（R
5、amon Llull，是马略卡王国 现西班牙 的一名作家、哲学家、逻辑学家）在其半神秘主义著作鸿篇（ArsMagna）中所表达的即我们可以建立起某种通用的体系，在该体系下，从一个适当的（笛卡尔所谓的）“人类思想字母表”中取出符号进行多样组合，就可能表达所有知识。在哲学毕业论文中，莱布尼茨就曾试图探讨这一思想。他用到了一些基础组合数学知识来计算概率。他还提到将思想分解为可以利用“创造的逻辑”进行处理的简单成分。另外，他还加入了一段自称为旨在证明上帝存在的论证。正如莱布尼茨在晚年所说，这篇他在20岁时写的论文从许多方面来看都很幼稚。但我觉得，莱布尼茨正是从此开始了对种种问题的毕生思索。举例来说，莱
6、布尼茨的法学毕业论文命题是“疑难法律案件”，通篇都在论述这类案件被简化为逻辑与组合数学问题从而得以解决的可能性。尽管原本有望成为一名教授，然而莱布尼茨最终决定终其一生，为多个法庭及执政者提供顾问服务。有时他要贡献自己的学识，追溯艰深然而具有重要政治意义的族谱或历史；有时要对诸如法典、文献等进行系统化规范整理；有时则要进行实际工程设计，例如规划银矿排水方案；还有些时候尤其是在早年生涯中他要为政治举措提供“实时实地”的智力援助。在1672年的一次此类政治行动中，莱布尼茨被派往巴黎，之后在那里度过了4年在这一期间，他结识了很多当时的学界翘楚。在此之前，莱布尼茨的数学知识只处于基础水平。但在巴黎，他有
7、机会学习所有最先进的思想与方法。举例来说，他曾找到克里斯蒂安惠更斯，并成功通过了测试求所有三角形数倒数之和，于是后者同意指导莱布尼茨学习数学。经过多年的努力，莱布尼茨完善了他将知识系统化、规范化的理论，并一直在构想着一种能使知识按现在的说法可计算化的整体结构。他所设想的第一步是发展一门“符号学（arscharacteristica）”即用符号表示事物的方法论研究，并实际制定一套统一的“思维字母表”。在他接下来的设想中，通过这套单一指代体系，我们有可能“通过演算找到任何领域的推理真理1, 就像算术和代数那样。”这与如今我们所知的计算理论有着惊人的共同点。他在提到自己的理念时用到了不少野心勃勃的说
8、法，例如“知识方法总论”、“哲学语言”、“通用数学”、“通用系统”，还有“思维演算法”。他料想这一系统最终会应用在所有领域：科学、法律、医学、工程学、神学等等。但在其中一门学问中，他很快就取得了显著成就，那就是数学。据我的了解，数学史上将数学符号当作中心课题来研究的案例惊人地少见。仅有几例，如19世纪末期，现代数理逻辑论开端伊始，戈特洛布弗雷格（Gottlob Frege，德国数学家、逻辑学家和哲学家，数理逻辑的奠基人）及朱塞佩皮亚诺（Giuseppe Peano，意大利数学家、逻辑学家和语言学家，数理逻辑先驱）等人的工作。还有近年来我在建立Mathematica和Wolfram语言的过程中的
9、一些尝试。但莱布尼茨早在3个世纪前就开始了这项工作。并且据我揣测，莱布尼茨在数学领域的成就，很大程度上要归功于他在符号系统方面做出的努力，以及这一系统所带来的更为明晰的数学结构和流程之推论。在数学领域符号系统方面的成就当我们阅读莱氏的论文时，会发现他使用的符号及其演变十分引人入胜。其中很多看上去非常现代化。尽管也有少数17世纪的鬼画符，比方说他偶尔会用炼金术或占星术中的符号表示代数中的变量：莱布尼茨用炼金术或占星术中的符号表示代数中的变量在此处，他把用作等号，并略显俗套地把这个符号当成一个天平：把某一边的“腿”写得稍长以表示小于（“”）：莱布尼茨表示的大于（“”）这里的上划线用来表示合并同类项
10、可以说是个比括号更好的主意，尽管不方便打字和排版：莱布尼茨用上划线表示合并同类项今天，我们会用根号来表示根。但是莱布尼茨想在积分里也使用这个符号，并配以带着漂亮小尾巴的“d”。这让我想起我们在Mathematica中使用黑板粗体“微分d”来表示积分。莱布尼茨在积分里使用根的符号在解方程时经常会用到，但这常常使分组过程十分混乱，比如说abc。而莱布尼茨似乎也遇到了类似的麻烦，但他发明了一种标记法来解决这问题这种方法即便在如今也实在值得一用：莱布尼茨发明标记分组莱氏使用的一些标记让我也不明就里。不过这些上波浪线到确实赏心悦目：还有这些小点：或者是这些看上去很有趣的图表：当然，莱布尼茨最著名的符号要
11、数他创造的积分符号（用长“S”表示“总和”）以及“d”。这一系统首次被总结出来就是在这张纸的空白处，日期是1675年11月11日（事后“1675”里的“5”被改成了“3”，也许是出自莱布尼茨的手笔）：莱布尼茨创造的积分符号我所注意到的有趣的一点是，尽管创造了这些“数学”运算符号，莱布尼茨显然并没有为逻辑运算发明一套类似的符号。“或”仅仅使用拉丁文“vel”表示，“且”则是“et”，如此等等。而当他想到逻辑量词（例如现代的和）这个点子时，他也只是用拉丁文缩写U.A.和P.A.草草了事。莱布尼茨用拉丁文缩写U.A.和P.A.早期创建“算数机”的尝试一直让我感到反常的是，在思想史上，统泛化运算（Un
12、iversal Computation）的概念直到20世纪30年代才萌生。而我总怀疑莱布尼茨的手稿中是否隐藏着一份统泛化运算的早期版本也许甚至有一份图样可供今人解读出一套类似图灵机的系统。但是随着对莱布尼茨愈加深刻的接触，我清楚地看到了为何事实并非如此。其中一个重要原因，据我推测，是他并不足够重视离散系统。他将组合数学中的成果称为“不证自明的”，大概是因为他考虑到这些成果可以用运算方法直接证明。而对他而言，只有“几何的”或者连续数学问题才值得为之发明微积分来解决。在描述曲线特性等问题时，莱氏想出了类似连续函数的方法。但他从未把这种函数思想应用在离散数学中而这却很可能引导他开始思考构建函数的通用
13、元素。莱布尼茨认识到了他的微积分的成功，并且一心想为其他领域也创造出类似的“微积分”。在他与统泛化运算另一次失之交臂的经历中，莱布尼茨想到用数字来将逻辑特征编码。他设想将某事物的每一个可能的性质都与一个不同的质数相对应，然后再通过这些代表其性质的质数之乘积来描述这一事物随后再用数学运算来代替逻辑推演过程。但是他只考虑到了静态性质并且从未能想到像哥德尔数那样，将运算同样用数字进行编码。尽管莱布尼茨没有产生统泛化运算的思想，可是他确乎体会到了一个理念：计算在某种意义上是机械化的。而且他在早期似乎确实下过决心要建造一个实实在在的机械计算机来进行数学运算。可能部分原因是为了他自己用着方便（这可是开发新
14、技术的万能理由！），因为撇开他在代数及其他方面的造诣不谈，他的手稿边上写满了基础（有些还是错误的）算式而这些也一并被保存下来供后人观瞻：在莱布尼茨的时代，曾有过零星的几个建造机械计算机的实例，并且在巴黎时期，他无疑见识过帕斯卡于1642年建造的加法计算器。但是莱布尼茨致力于建造一个“全能”计算机，而这将是首次可以在一台机器上进行全部4种基础运算。他还想给这机器设计一个简单的“用户界面”：使用者可以将操作柄扳向一方进行乘法，扳向反方向则是除法操作。在莱布尼茨手稿中，探讨该机器的工作原理的各式简图随处可见：莱布尼茨手稿中的各式简图莱布尼茨原本设想他的计算机能具有优秀的实际功用实际上他似乎希望能将其
15、发展为一桩成功的生意。但实际上，单是让这台计算机稳定地运作便令莱布尼茨劳心费力。因为正如那一时代的其他机械计算机一样，这台机器不过是个被夸大的了里程表。它和近200年后查尔斯巴贝奇（Charles Babbage，英国数学家、发明家兼机械工程师）的机器类似，当发生大规模的连动时，从机械角度上很难实现大量的转盘同时运转。莱布尼茨最初建造了一台木制原型机，计划仅用来处理3到4位数的运算。但是在他1673年造访伦敦期间，这台原型机在给罗伯特胡克等人展示的过程中表现得差强人意。不过他始终认为自己能够解决所有问题比方说他在1679年（用法文）写下的“算数机最终修正案”：莱布尼茨1679年用法文写下的“算数机最终修正案”然而1682年的一篇笔记说明还有更多的问题亟待解决：但莱布尼茨仍依据其笔记起草了一份方案并且签约了一位工程师来建造一台能够处理更高位数的铜制版本：读莱布尼茨为这台机器写的“营销材料”是件趣事：莱布尼茨为“算数机”写的“营销材料”另外还有部分“使用说明”（附带36524的计算过程作为“工作样例”）：“算数机”的“使用说明”并附以用法详图作结：“算数机”的用法详图尽管付出了这么多的努力，计算器所存在的问题始终没能解决。事实上，40多年来，莱布尼茨始终在坚持调试
