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1、花山居室 个性化教学方案教师姓名学生姓名张凌峰填写时间2011-10-学科数学年级初 三教材版本新课标阶段第（）周 观察期： 维护期：上课时间2011-10-课题名称线段垂直平分线与角的平分线课时计划第（ ）次课共（ ）次课教学目标1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。能够利用尺规作已知角的平分线。教学重点难 点线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。角平分线的性质定理、判定定理及相关结论综合题目的证明一 线段的垂直平分线1定理
2、：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。这一思想方法应让学生理解。1） 符号语言 P在线段AB的垂直平分线CD上 PA = PB2） 定理解释：P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA = PB。来源:学。科。网3） 此定理应用于证明两条线段相等来源:学科网ZXXK已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。求证：PA=PB。证明：MNAB，PCA=PCB=90AC=BC，PC=PCPCAPCB（SAS）PA=PB（全等三角形的对应边相等）想一想，你能写出上面这个定理的逆命题吗？它
3、是真命题吗？如果是请证明：巩固练习1） 如图，已知直线AD是线段AB的垂直平分线，则AB = 。2） 如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。3） 如图，在ABC中，AB = AC，ABED，AED = 50，4） 则B的度数为 。2定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（利用等腰三角形三线合一）做一做用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线。作法：1、分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，2、作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。请你说明CD为
4、什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流。因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点。1） 我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有什么性质？引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2） 符号语言 PA = PB P在线段AB的垂直平分线上3） 定理解释只要有PA = PB，则P为CD上的任意一点4） 此定理应用于证明一点在某条线段的垂直平分线上 巩固练习1） 已知点A和线段BC，且AB = AC，则点A在 。2） 如果平面
5、内的点C、D、E到线段AB的两端点的距离相等，则C、D、E均在线段AB的 。设是线段AB的垂直平分线，且CA = CB，则点C一定 。剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？3定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。证明：在ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）同理：PB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离
6、相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段a、b求作：ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a（如图）；（2）作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D，（3）在L上作线段DA，使DA=h（4）连
7、接AB，AC 二 角平分线1定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。证明：如图OC是AOB的平分线，点P在OC上PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，1=2，OP=OP，PDO=PEO=90PDOPEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）其逆命题也是真命题。引导学生自己证明。2定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。做一做：用尺规作角的平分线。已知：AOB求作：射线OC，使AOC=BOC作法：1、在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE2、分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C。3、作射线OCOC就是AOB的平分线。
8、读一读：尺规作图不能问题：三等分一个任意角，倍立方求作一个立方体，使该立方体的体积等于给定立方体的两倍。化圆为方求作一个正方形，使其与给定圆的面积相等。例1 填空：1、 如图，在ABC中，C = 90，DE是AB的垂直平分线。1）则BD = ；来源:Zxxk.Com2）若B = 40，则BAC = ，DAB = ，DAC = ，CDA = ；3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，ACD的周长为 。2、 如图，ABC中，AB = AC，A = 40，DE为AB的中垂线，则1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，BCE的
9、周长为 。例2 如图，DE为ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求AEC的周长。分析：此题侧重于让学生体会解题过程，培养学生的逻辑思维。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。例3 已知在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，ABD的周长是13cm，求ABC的周长。分析：此题与上例类似，在证明时，要多一步，要说明AC的长度。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。例4 如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABC的周长为12cm， ABD的周长为9cm，求AC的长度。分析：此题与上例刚好相反，
10、已知两三角形的周长，求其中一条边的长，过程与上面相反。培养学生的逻辑思维。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。一、 随堂练习来源:学科网1、 如图，已知AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于D。1）若DBC的周长为24cm，则BC = cm；2）若BC = 8cm，则BCD的周长是 cm。2、 在ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，ABC和DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。3、 如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，AE = 2cm，求CDB的周长。例题选讲例1.如下图，AP、BP分别
11、平分ABO的外角，AOB40，则AOP 。解：20例2.如图ABC中，ABAC，BD、CE分别是ABC两底角的平分线，求证：BDCE。证明：ABC中ABACABCACB.又BD、CE分别平分ABC和ACB12在BDC与CEB中BDCCEB（ASA）BDCE例3. 已知：如图，C=90B=30，AD是RtABC的角平分线。求证：BD=2CD。分析：根据已知条件可求出BAC的度数，再由AD是ABC的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。证明：由C=90，B=30，知BAC=60。因AD是ABC的角平分线，故BAD=CAD=30。则B=BAD。可知AD=BD。在ADC中，DA
12、C=30，C=90，则AD=2CD。故BD=2CD。引申：该题中，若条件不变，如上图，从D点向AB作垂线交AB于点E，请问： ADEADC是否成立？BD=2DE是否成立？不难看出，因为AD是ABC的角平分线，由角平分线的性质可知DE=DC，则ADE与ADC全等的条件可轻松找到，BD=2DE显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。例4. 已知：如下图，ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F。求证：点F在DAE的平分线上。分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结
13、论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，所以不妨过点F分别作BD，BC，CE的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。证明：如上图，过点F分别作BD，BC，CE的垂线段FG，FH，FM。因BF是CBD的平分线，所以FG=FH。同理FH=FM，则FG=FM。因点F在DAE内，且点F到AD，AE的距离相等，故点F在DAE的平分线上。引申：该题中，若条件不变，请问：A与BFC有怎样的数量关系？请同学们进一步探索。例5. 已知：如图1所示，ABC，ACB的平分线交于F，过F作DE/BC，交AB于D，交AC于E，求证：（1）BD+EC=DE来源:Z&xx&k.Com图1（2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。图2（3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。图3 证明：（1）DE/BC，2=3 1=2，1=3 BD=DF，同理FE=EC BD+EC=DF+FE=DE （2）
