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1、线性代数全公式基本运算 或。 。 转置值不变逆值变 ，3阶矩阵 有关乘法的基本运算 线性性质 ， 结合律 不一定成立！，与数的乘法的不同之处 不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当时或 由和由时（无左消去律）特别的 设可逆，则有消去律。 左消去律：。 右消去律：。 如果列满秩，则有左消去律，即 可逆矩阵的性质 i）当可逆时， 也可逆，且。 也可逆，且。 数，也可逆，。ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。 推论：设，是两个阶矩阵，则 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵可逆每个都可逆，记伴随矩阵的基本性质： 当可逆
2、时， 得， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得： 伴随矩阵的其他性质 , , ， 。 时， 关于矩阵右上肩记号：，* i) 任何两个的次序可交换， 如， 等 ii) ， 但不一定成立！线性表示 有解 有解 有解，即可用A的列向量组表示 ， 则。 ，则存在矩阵，使得 线性表示关系有传递性 当， 则。 等价关系：如果与互相可表示 记作。线性相关 ，单个向量， 相关 ，相关对应分量成比例 相关 向量个数=维数，则线性相（无）关 ，有非零解 如果，则一定相关 的方程个数未知数个数 如果无关，则它的每一个部分组都无关 如果无关，而相关，则 证明：设不全为0，使得 则其中，否则不全为0，与条件无关矛盾。于是。
3、 当时，表示方式唯一无关 （表示方式不唯一相关） 若，并且，则一定线性相关。 证明：记，则存在矩阵，使得 。 有个方程，个未知数，有非零解，。 则，即也是的非零解，从而线性相关。各性质的逆否形式 如果无关，则。 如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。 如果无关，而，则无关。 如果，无关，则。 推论：若两个无关向量组与等价，则。极大无关组一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组 无关 另一种说法： 取的一个极大无关组 也是的极大无关组相关。 证明：相关。 可用唯一表示 矩阵的秩的简单性质 行满秩： 列满秩： 阶矩阵满秩： 满秩的行（列）向量组线性无关 可逆 只有零解，唯一解。矩阵在运算
4、中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 时， 可逆时， 弱化条件：如果列满秩，则 证：下面证与同解。 是的解 是的解可逆时， 若，则（的列数，的行数） 列满秩时 行满秩时解的性质 1的解的性质。 如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。 2 如果是的一组解，则 也是的解 是的解 特别的： 当是的两个解时，是的解 如果是的解，则维向量也是的解是的解。解的情况判别 方程：，即 有解 无解 唯一解 无穷多解 方程个数： 当时，有解当时，不会是唯一解 对于齐次线性方程组， 只有零解（即列满秩）（有非零解）特征值特征向量 是的特征值是的特征多项式的根。 两种特殊情形： （1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时
5、，特征值即对角线上的元素。 （2）时：的特征值为特征值的性质 命题：阶矩阵的特征值的重数 命题：设的特征值为，则 命题：设是的特征向量，特征值为，即，则 对于的每个多项式， 当可逆时， 命题：设的特征值为，则 的特征值为 可逆时，的特征值为 的特征值为 的特征值也是特征值的应用 求行列式 判别可逆性 是的特征值不可逆 可逆不是的特征值。 当时，如果，则可逆 若是的特征值，则是的特征值。 不是的特征值可逆。n阶矩阵的相似关系 当时，而时，。 相似关系有i）对称性： ，则 ii）有传递性：，则 ，则 命题 当时，和有许多相同的性质 ，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。 与的特征向量的关系：是的
6、属于的特征向量是的属于的特征向量。 正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为，则它们同时正定或同时不正定 ，则，同时正定，同时不正定。 例如。如果正定，则对每个 （可逆，！） 我们给出关于正定的以下性质 正定 存在实可逆矩阵，。 的正惯性指数。 的特征值全大于。 的每个顺序主子式全大于。 判断正定的三种方法： 顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念 对称矩阵。 反对称矩阵。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） 写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。 用判别解的
7、情况。 i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记是的非零行数，则 时唯一解。 时无穷多解。 iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则都不为。 就是解。一个阶行列式的值： 是项的代数和 每一项是个元素的乘积，它们共有项 其中是的一个全排列。 前面乘的应为 的逆序数 代数余子式 为的余子式。 定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。 范德蒙行列式 个 乘法相关 的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。 乘积矩阵的列向
8、量与行向量 （1）设矩阵，维列向量，则 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 ， 方程组的向量形式 （2）设， 的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。 的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。 矩阵分解 当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量 于是， ， 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂 对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。 于是 其他形式方阵的高次幂也有规律
