《阅读与思考 代数基本定理1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《阅读与思考 代数基本定理1.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课 代数基本定理教学设计 一、教学内容分析本节课的内容为选修2-2，第三章数系的扩充与复数的引入之后的阅读与思考代数基本定理学生已经完成了复数的学习，对复数的概念和性质已经有了一定的了解在此基础上，我们把数系扩充之后的复数域推广应用到我们所熟悉的多项式方程领域，推陈出新使学生经历观察、猜想、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式 本节课是教科书设置的“阅读与思考”栏目，为学生提供丰富的具有思想性、实践性、挑战性的，反映数学本质的教学材料，拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”、“用数学”的意识，契合新课改“以学生的发展为本”的理念 代数基本定理的证明在高中阶段无法
2、完成，因此本节课只是从代数基本定理定理出发，完成三个探究，主要以学生自主探究为主，完善和提升学生学习方法二、教学目标解析1. 通过合作探究，学生能从具体事例中猜想出探究结果，并能用规范的数学语言归纳2. 学生运用归纳的数学思想，经历观察、猜想、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体验研究数学的一般方法3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习能力教学重点：（1）代数基本定理及其理解；（2）韦达定理的推广及应用；（3）经历探究，归纳数学研究的方法教学难点：（1）通过观察、归纳，猜想出探究结果；（2）代数基本定理的理解；（3）对探究数学方法的理解；三
3、、教学问题诊断分析授课班级学生为实验班学生1学生已有认知基础学生已经学习了复数的概念，复数代数形式的四则运算，对复数有了一定的认识，并具备了进行复数代数运算的能力学生经历了高中两年的学习，在数学研究上有了一定的实际经验，接触和掌握了一些的数学思想方法，具有良好的数学基础，已经养成了独立思考、合作交流、观察猜想、反思质疑等学习习惯2达成目标所需要的认知基础学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备良好的归纳、猜想和推理能力四、教学策略分析根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用自主学习方式通过教师引领学生经历研究代数基本定理及其推广的过程，认识研究的目标与策略，
4、在研究的过程中逐渐完善研究的方法和手段 学生的自主学生，具体落实在三个环节：（1）构建本节课的学习方法，自主归纳，探究发现方程的形式和根之间的关系（2）利用类比，深刻理解代数基本定理，并加以推广得到探究1（3）韦达定理的推广及简单运用本课例在浙江省高中数学课堂评比中获省等奖， 德清县第三中学 宋文泉五、教学过程（一）情景引入 启动思维1.在复数域内解下列9个方程：【设计意图】本堂课的内容比较抽象，所以通过简单的实例解方程，使学生初步体会到方程和根之间的关系，使之能较快的进入本节课的节奏，开启思维2.学生轮流回答问题，教师加以引导指正. 【设计意图】通过老师回顾小结，使学生认识到方程形式的差异，
5、根形式的差异，为接下来方程的形式和根之间的关系做铺垫让学生注意到解题后的知识提炼，进一步促进学生自身能力的提升（二）观察猜想 汇报交流1.指导学生构建研究方法，确定探究方向.仔细观察以上9个方程的形式及其根的形式，从以下几个方面入手：一元次方程在复数集内根的个数；一元次方程若有虚根，则虚数根之间的关系；根与方程系数之间的关系【设计意图】经过实例演练和已有的认知基础，直接指导学生建构观察、归纳、猜想、论证的研究方法通过历史让学生认识到此研究方法的强大，让学生充满信心和动力，跃跃欲试本节内容比较抽象，所以确定探究方向，在此不宜过多纠缠，不然容易打击到学生的积极性2.自主探究 汇报交流学生进行分组讨
6、论，合作探究，气氛融洽，交流积极老师巡视，必要时参与讨论，及时提示任务，待大部分学生有结论后，鼓励小组间交流，请学生汇报【设计意图】一方面：若老师直接参与，学生就体会不到观察、归纳、猜想的思维过程，选择学生自主探究，虽然得到片面认识的可能，但通过讨论交流，学生能互相验证猜想，仍能得到正确认识而且自主探究能充分发挥学生的互助学习能力，有效帮助学生突破难点另一方面：关注部分探究意识与能力较薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言，激励他们主动参与活动，让学生成为真正的学习主体（三）探究学习 提升能力1.探究1 任何次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积进而，次多项式有个复数根（重根按重数计）
7、（1）学生质疑和借势由于引例的个数限制，学生在对特殊到一般的归纳猜想肯定有疑虑，所以教师请教学生，学生利用Mathematica软件演示方程根的个数，坚定自己的想法【设计意图】在学生实际讨论过程中，学生对特殊到一般做出了思考，由于引例个数的限制，学生对于归纳的结论有疑问，在实际举例过程中又遭遇困难教师请教学生，利用数学软件帮助学生解决问题，排除学生的困惑，坚定学生的信心，从而点出我们引进代数基本定理的原因充分发挥学生的特长，调动学生的积极性，让学生主动参与课堂教学 从特殊到一般的思维方法是归纳抽象对象的一般思维方法，本节课通过探究，总结探究数学的一般方法，应充分发动学生参与探究的每个过程，得到
8、直接体验(2)认识定理介绍代数基本定理的发展历史【设计意图】通过走近代数基本定理的发展历史，使学生的思维理解上真正走近代数基本定理，便于和加深对代数基本定理的理解，增加学生学习数学的积极性和兴趣(3)理解定理为了学生更好的理解代数基本定理，再次回顾定理，着重指出对“任何次”的理解，给出取鸡蛋的类比，让学生完成类比填空，并完成对猜想探究1的论证【设计意图】通过通俗易懂的例子，进行类比，简化和加深学生对代数基本定理的理解，并解决对探究1的论证，使学生克服对抽象思维的恐惧，达成共识实现殊途同归，提倡学生以形象思维作为抽象思维的支撑2.探究2 如果虚数是实系数一元次方程的根，那么它的共轭虚数也是方程的
9、根（“虚数成对”）(1)【思考1】【设计意图】用【思考1】来链接探究1和探究2，并串联探究3(2)对猜想2进一步提炼，引导学生规范文字语言，做到简洁凝练，而探究2的证明不予以证明【设计意图】由于整个第三章数系的扩充与复数的引入教材安排内容比较简单，共轭复数只涉及到概念，没有涉及共轭复数的性质，所以安排阅读补充材料，探究2的证明留到课后完成一来对于数学爱好者提供更丰富的数学素材，二来给学生提供课余独立探究的平台和提升学习方法的机会(3)【思考2】在复数域中，实系数一元三次方程至少存在一个实数根.【设计意图】进一步拓展学生的思维宽度和深度，并利用探究所得，解决一些实际问题。提高学生探索数学的积极性
10、，激发学生的学习兴趣。3.探究3 根与系数之间的关系(1)证明二阶韦达定理适用实系数一元二次方程回顾【思考1】，引导学生用韦达定理解决【思考1】【设计意图】学生在运用定理时往往忽略运用条件，培养学生在思考问题时要有严谨的态度从二阶韦达定理引申到三阶的过程，让学生体会类比、归纳的思维过程，提升学习能力，并引发学生从二阶韦达定理到阶韦达定理推广的思考(2)从二阶韦达定理出发，学生自主完成对韦达定理三阶的推广(3)【思考3】【设计意图】考察学生对自己探究成果的运用，做到学以致用让学生发觉自己的探究结果能达到如此妙用，提高学生对探究数学的兴趣爱好，并且是对自己的探究成果的自我认可，实现自我价值（四）课
11、堂小结 过程重现学生自我总结.【设计意图】课堂小结不是对所学知识的简单回顾，应该让学生在知识、方法和策略上多层次整理，促进学生理解所学方法的合理性与普遍性，使学生获得知识与能力的共同进步（五）拓展延伸 课后作业 A组：练习卷1-6小题B组：（1）用数学归纳法证明探究1；（2）请同学们阅读补充材料共轭复数性质，完成探究2的证明（3）试证明：实系数一元次方程可分解成一个实数和若干个一次因式（形如）或二次因式（形如其中实数，）的乘积（4）思考：韦达定理是否适用复系数方程【设计意图】A组题为基础题，用来巩固新知，浅显易懂，有利于学生获得成功的快乐，增强学习的自信心B组题为发展题，有一定难度，有利于培养
12、学生思维的灵活性和深刻性，为学生课后自主探究和方法提升提供平台课堂实录 师：上课生：起立师：同学们好！生：老师好！师：请坐！我们已经学习了复数，把数域扩充到复数集，请同学们试一试在复数集内解下列方程（投出引例幻灯片）生：解方程，教师巡视师：大家完成的很快，第1,2小题比较简单，答案分别为？生：（1） （2）师：第3小题，请董莹同学回答？生： 师：有没有不同意见呢？生：还有两个虚数根，是师：在实数集内确实是一个根，而在复数集内这个三次方程有三个根，接下去下一位.生：第（4）题，有4个解分别：师：在复数集内这个一元四次方程有4个根师：接下来我们回顾一下这9个小题，我们发现方程的从根的形式上看：有实
13、数根，有虚数根，而且方程的系数上看：有实系数方程和虚系数方程，我们统称为复系数方程我们学了复数之后，不仅方程的根更丰富了，方程的形式也更丰富了师：历史上，我们有很多伟大的发现都是通过观察、归纳、猜想得到的，最后得到论证像我们熟悉的四色猜想，后来有了计算机才被证实为正确，而哥德巴赫猜想至今还没有完全攻克今天因为你们的猜想，我们可能被载入数学的历史生：会心的笑师：现在，我们仔细观察以上9个方程的形式及其根的形式，看看能得到一些怎样的结论不妨从以下几个方面入手：一元次方程在复数集内根的个数；一元次方程若有虚根，则虚数根之间的关系；根与方程系数之间的关系生：分组合作互助学习（讨论热烈）师：请各组同学整
14、理一下自己的猜想，大胆的表达你们的想法，可能你的猜想就是一个伟大的发现生：一元次方程有个根；生：实系数方程若有虚数根，则共轭成对出现；生：一元二次方程有韦达定理，三次方程也有类似关系师：比如？生：比如第7例，.师：请仔细观察，是否也成立？生：是的，那再找第9例试试，应该是.师：很好，学数学我们要大胆假设，小心求证，还有没有其他类似的关系式？生：还有，.师：很好，请坐.这两个式子都带有一个负号，和二阶的二个表达式的形式不太统一. 还有同学们，这些都是我们通过观察得到的猜想，没有经过论证.现在不妨我们从第一个猜想出发，并试着对自己的猜想加以论证师：（打出9个引例的幻灯片）通过实例我们发现大家的探究
15、1结果吻合的.生：（举手）给出的9个方程是比较简单，容易因式分解的方程，对于比较烦的，而我们又不能解决的方程是否也满足呢？ 师：那请你举个实例？生：比如：方程我解不了师：不妨让我们的电脑高手来帮助解决你的困惑（借助Mathematica软件来演示）生：（根据提问学生的举例）另一学生利用Mathematica软件演示，当电脑演示出结果时，学生都“哇”的一声，表示大开眼界师：给大家演示一个一元四次方程试试生：演示了方程师：感谢我们的电脑高手生：鼓掌！师：实际上，一元三次方程已经很难解了，虽然有统一求根公式，但比较繁琐一元方程超过4次就没有统一的求根公式了既然由于方程求根比较困难，所以在论证这一环节，我们要借用大学里的一个定理代数基本定理，来论证我们的猜想师
