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1、第7章 第2节一、选择题1下列函数最小值为4的是()AyxBysinx(0x)Cy3x43x Dylgx4logx10答案C解析A中没有强调x0不能直接运用基本不等式，故不对B中虽然x(0，)，sinx0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sinx即sinx2矛盾，所以等号取不到，故不对C中3x0，可直接运用基本不等式3x43x24，当且仅当3x，即3x2，xlog32时取等号，故正确D中由于没有给出x的范围，所以lgx不一定大于0，故不对2某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9000元，年维修费第一年是2000元，以后逐年递增2000元问这种汽车使用_年时，它
2、的年平均费用最小()A11 B10 C9D8答案B解析设汽车使用n年时，年平均费用为y，则y1213，当且仅当n10时，年平均费用y最小，选B.3(2010重庆理)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.答案B解析2xy8(x2y)，故8(x2y)()2，(x2y)24(x2y)320解得x2y4或x2y8(舍去)x2y的最小值为4.4已知a，bR，ab，且ab2，则()Aab1 B1abCab1 Dab1答案D解析1()2，且ab，1.ab2，a，b同为正或ab0.若ab0，显然ab1；若a，b同为正，可得1()2()2ab，同理，由于ab，ab1.综上可
3、得，ab1.5已知x0、y0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是()A0 B1 C2 D4答案D解析由等差、等比数列的性质得2224.仅当xy时取等号6(2011东营模拟)已知x3y20，则3x27y1的最小值是()A3 B12C6 D7答案D解析3x27y13x33y1212317，所求最小值为7.7(2010四川文)设ab0，则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4答案D解析本题考查基本不等式的应用ab0，a2a2ababa(ab)(ab)224.8设a、b、c都是正实数，且a、b满足1，则使abc恒成立的c的取值范围是()A(0,8 B(0,10C(0,1
4、2 D(0,16答案D解析解法1：a、b都是正实数，且1，ab(ab)1010216，当且仅当即b3a时等号成立，此时a4，b12，(ab)min16.abc恒成立，00，b0，a1，b9，(a1)(b9)2ab16，等号在a1b93时成立，要使abc恒成立，应有00，n0.mn2，当且仅当mn时等号成立log2mlog2nlog2(mn)log22.log2mlog2n最大值为2.10已知a0，b0，且a2b22，则a的最大值为_答案解析a2b22，a0，b0，a.当且仅当a2b21，即a，b时，等号成立11(文)(2010浙江文)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解
5、析本题考查了均值不等式在求解最值中的应用x，yR，xy2xy626即()2260，解得3，xy18xy的最小值为18.(理)(2010山东理)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_答案a解析，故a.三、解答题12已知x0，y0，z0.求证：8.分析由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证解析x0，y0，z0，0，0，0.8.13(1)已知x0，求f(x)3x的最小值(2)已知x0，且3x36是常数，故可直接利用基本不等式求值(2)由于x不是常数，故需利用拆、凑项将原函数变为f(x)(x3)3，然后再用基本不等式求解解析(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取
6、等号f(x)的最小值为12.(2)x3，x30.f(x)x(x3)33231.当且仅当3x，即x1时取等号f(x)的最大值为1.14已知a0，求函数y的最小值解析由已知y(a0)当0a1时，y2.当且仅当x时，取“”，这时ymin2.当a1时，令t(t)，则yf(t)t(ta)，f(t)10，f(t)在，上是增函数，当t时，yminf()，即x0时，ymin.综上，0a1时，ymin2；a1时，ymin.15设a0，b0，ab1(1)证明：ab4(2)(理)探索、猜想，并将结果填在以下括号内，a2b2()；a3b3()；(3)(理)由(1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明解析(1)证明：方法一ab44a2b217ab40(4ab1)(ab4)0.ab()22，4ab1，而又知ab4，因此(4ab1)(ab4)0成立，故ab4.方法二abab，ab2，4，.当且仅当ab时取等号又ab2，当且仅当ab，即4，ab时取等号故ab4(当且仅当ab时，等号成立)(2)猜想：当ab时，不等式a2b2()与a3b3()取等号，故在括号内分别填16与64.(3)由此得到更一般性的结论：anbn4n，ab2，4.anbnanbn24n4n，当且仅当ab，即ab时取等号
