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1、采样周期的选取8-1 采样周期的选取811 采样定理 采样定理也称香农（Shannon)定理，其结论如下: 如果采样角频率s(或频率fs）大于或等于2m（或2fm），即 (81)式中m(或fm)是连续信号频谱的上限频率，见图81,则经采样得到的脉冲序列能无失真的再恢复到原连续信号. 从物理意义上来理解采样定理那就是，如果选择这样一个采样频率,使得对连续信号所含的最高频率来说,能做到在其一个周期内采样两次以上，则在经采样获得的脉冲序列中将包含连续信号的全部信息。反之，如果采样次数太少，即采样周期太长，那就做不到无失真的再现原连续信号。8-12 采样周期的选取 采样周期T0是数字控制系统设计的一个
2、关键因素，必须给以充分注意。工程实践证明,采样周期T0根据表8-1给出的参考数据选取时，可以取得满意的控制效果. 对于随动系统，采样周期的选取在很大程度上取决于系统的性能指标。在一般情况下， 控制系统的闭环频率响应具有低通滤波特性,当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频特性的谐振频率r时,信号通过系统将会很快衰减，而在随动系统中，一般可近似认为，开环频率响应幅频特性的剪切频率c与闭环频率响应幅频特性的谐振频率r相当接近，即幅频特性的谐振频率cr.也就是说,通过随动系统的控制信号的最高频率分量c,超过c的分量通过系统时将被大幅度的衰减掉.根据工程实践经验,随动系统的采样频率s可选为 s10c （
3、82）考虑到T0=2/s，则按式(82）选取的采样周期T0与系统剪切频率c的关系为 （83)从时域性能指标来看,采样周期T0通过单位阶跃响应的上升时间tr及调整时间ts可按下列经验关系式选取，即（84)(8-5)控制过程采样周期(s)流量压力液面温度成分1552020表8-1 采样周期T0的参考数据8-2 信号保持 信号保持是指将离散信号脉冲序列转换成（或恢复到)连续信号的转换过程.用于这种转换过程的元件称为保持器。从数学意义上来讲,保持器的任务是解决各采样时刻之间的插值问题. 8-21 零阶保持器 零阶保持器是在数字控制系统中应用最广泛的且具有常值外推功能的保持器，用符号H0来表示.也就是说
4、,对于零阶保持器有下式成立,即 (86)式中p为常值，的变化范围是0T0.显然,在=0时，式(8-6)也成立,这时有 （87）由式(86）及（87）求得 （8-8)式(88）说明零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器.它把前一个采样时刻nT0的采样值(nT0）不增不减的保持到下一个采样时刻（n+1）T0到来之前的一瞬间。当下一个采样时刻(n+1）T0到来时，应以(n+1）T0为常值继续外推。也就是说，任何一个采样时刻的采样值只能作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来之前，其保持时间显然是一个为采样周期T0.零阶保持器的输出信号H(t）如图82所示 零阶保持器的时域特性gH（t）如图8-3（a）
5、所示,它是高度为1，宽度为T0的方脉冲。高度等于1，说明采样值经过保持器既不放大，也不衰减；宽度等于T0，说明零阶保持器对采样值(8-9)只能不增不减地保持一个采样周期.由图求得零阶保持器的传递函数GH(s）为由式求得零阶保持器的频率响应为(8-10)从图8-2看到,经由零阶保持器转换得到的连续信号具有阶梯形状,它并不等于采样前的连续信号(t).平均地看，由零阶保持器转换得到的连续信号(图8-2中的点划线特性）在时间上要迟后于采样前的连续信号.式表明，这个迟后时间等于采样周期的一半，即T0/2。8-22 一阶保持器 一阶保持器是一种基于两个采样值(nT0）与(n+1)T0按线性外推规律保持脉冲
6、序列*(t）的保持器.线性外推函数的斜率为 ,而外推函数值为式中 =tnT0； nT0t(n+1）T0.基于线性外推规律得到的一阶保持器的输出信号H(t）示于图8-4.根据输出信号H（t）可求取一阶保持器的时域特性gH(t），并由时域特性gH（t)求得相应的频率响应为 从式（8-12）可见,一阶保持器的迟后相移较零阶保持器的迟后相移为大，其平均相移约等于零阶保持器平均相移的两倍.因此，数字控制系统普遍采用零阶保持器. 83 Z变换831 Z变换 1。 设连续时间函数x（t)可进行拉氏变换,其象函数为X(s).考虑到t0时x（t)=0，连续时间函数经采样周期为T0的采样开关后,得到脉冲序列为对上
7、式进行拉氏变换,得到 (8-13）因复变量s含在指数函数enT0s中不便计算，故引进一个新变量 (814）将式（814）代入式（813）,求得以z为变量的函数X(z)，即 (8-15）式(8-15)所示X(z）称为离散时间函数脉冲序列x*(t)的Z变换,记为X（z）=Zx*(t）。连续时间函数x（t）与相应的采样脉冲序列x(t)具有相同的Z变换，即 （8-16) 2。 求取离散时间函数脉冲序列的变换有多种方法,下面举例说明其中的三种。 （1） 级数求和法 将式（815)写成展开形式,即 （8-17)式（817)是离散时间函数x*(t)Z变换的一种级数表达形式.显然,只要知道连续时间函数x（t)
8、在采样时刻nT0(n=0,1,2，)上的采样值x(nT0），便可通过式(8-17）求取其Z变换的展开形式。 例1. 试求取单位阶跃函数1(t）的Z变换。 解 单位阶跃函数1（t）在所有采样时刻上的采样值均为1,即 1（nT0)=1, n=0，1，2,根据式(8-17）求得在上式中,若z1，则上式可写成下列闭式，即 （8-18） 因为式中=Res，所以条件z1意味着0。这也就是单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件。 （2) 部分分式法 设连续时间函数x(t)的拉氏变换X（s）为复变量s的有理函数，并具有如下形式：其中M(s)及N（s)分别为复变量s的多项式,并且有degM（s）degN（s),以及d
9、egN（s）=n.将X(s）展开成部分分式和的形式,即式中 siN(s）的零点，即X(s)的极点;为常系数;由拉氏变换知,与Ai/（s+si)项对应的原函数 ,又根据式便可求得 因此，函数x（t）的Z变换由相函数X(s）求得为 （8-20） 例2。 试求取具有拉氏变换为/s（s+)的连续时间函数x(t)的Z变换。 解 首先写出x(t)的拉氏变换X(s)的部分分式展开式，即其次对上式逐项求取拉氏变换，得到最后根据上列时间函数逐项写出响应的Z变换，即得连续时间函数x(t)的变换,即 （3) 留数计算法 已知连续时间函数x（t)的拉氏变换相函数X（s）及其全部极点si(i=1,2,，n),则x（t）的Z变换可通过下列留数计算式求得，即式中 ri-重极点si的个数； n-彼此不等的极点个数.常用时间函数的Z变换及其相应的拉氏变换列入表8-1.例3. 试求取连续时间函数 的Z变换。 解 首先写出x（t）的拉氏变换，即 由上式求得X（s)的重极点si=0，其个数ri=2,以及n=1。其次根据式(822）求取的Z变换,即(823）83-2 Z变换的基本定理 （1） 线性定理 设连续时间函数x(t),x1(t)及x2(t)的Z变换分别为X（z)， X1（z)及X2(z）,并设为常数或与时间t及复变量z,则有 (824)
