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1、秒杀高考数学题型之正弦定理在解三角形中的应用【秒杀题型一】：正弦定理解三角形应用一之已知两角与任意一条边。秒杀策略：(外接圆直径)，利用三角形内角和：，求出第三角，再利用正弦定理可求出另两边。1.(2016年新课标全国卷II13)的内角的对边分别为，若,，则= 。【解析】：，由正弦定理得。2.(高考题)设的内角的对边分别为，且，则 。【解析】：由正弦定理得。3.(高考题)设的内角的对边分别为,，若，则 。【解析】：由正弦定理得1。4.(2015年新课标全国卷I16)在平面四边形中，则的取值范围是 。【解析】：当与重合时最长为，当与重合时最短为。【秒杀题型二】：正弦定理解三角形应用二之已知两边与
2、其中一边所对的角。秒杀策略：在这类题型中注意增根与丢根，因为求正弦时一定为正值，如为1，则只有一组解，如为时，利用大边对大角，小边对小角原理，如这条边是大边则有两组解(锐角与钝角均成立)，如这条边是小边，则只有一组解(只取锐角)，如正弦值大于1，则无解。 1.(2017年新课标全国卷I11)的内角、的对边分别为、，已知 ，,则= ( ) A. B. C. D.【解析】：由得，由正弦定理得，选B。2.(2017年新课标全国卷III15)的内角的对边分别为，已知，则=_。【解析】：由正弦定理得：，。3.(高考题)在中，角所对的边分别为，已知，则_。【解析】：由正弦定理得：或。【秒杀题型三】：三角形
3、的面积公式。秒杀策略：底高。中,，则的面积。已知三角形的三边长为、，设，则：三角形的面积(海伦公式)。由海伦公式可延伸的公式：1.为三角形的内切圆半径，则：。2.把边BC、CA、AB上的高分别记为、，则:, , 。(由等面积法可推导)已知两角及两角的共同边:; ;。已知三边和外接圆半径R：。1.(2013年新课标全国卷II)的内角的对边分别为，已知，则的面积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：由正弦定理，得，选B。秒杀技巧：。2.(2010年辽宁卷)平面上三点不共线，设，则的面积等于 ( )A. B.C. D.【解析】：=，选C。【秒杀题型四】：边与角的正弦转化。秒杀策略：在等式(不等
4、式)或分式中出现边或角的正弦同次，利用正弦定理把边、角的正弦转化。秒杀规律：如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。1.(2011年辽宁卷)的三个内角所对的边分别为，则 ( ) A. B. C. D.【解析】：由正弦定理得：，选D。(特点：等式左右为一次)2.(2012年辽宁卷)在中，角的对边分别为，角成等差数列。（1）求的值；（2）边成等比数列，求的值。【解析】：（1），=。（2），由正弦定理得。重要结论：三角形三个内角成等差数列，则中间角为。3.(2013年辽宁卷)在中，内角所对的边长分别为
5、，+=，且，则= ( ) A. B. C. D. 【解析】：由正弦定理得：，选A。(特点：等式左右为一次) 4.(2017年新课标全国卷II16)的内角的对边分别为,若，则= 。【解析】：由正弦定理得：，得。5.(高考题)在锐角中,角所对的边长分别为，则= ( ) A. B. C. D. 【解析】：由正弦定理得2。6.(高考题)在中，内角A、B、C所对应的边分别为若，则的值为 ( ) A. B. C.1 D. 【解析】：由正弦定理得：选D。 7.(2020年新课标全国卷II17)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知。（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形。【解析】：（1）由已知得，即所以，由于，故。（2）由正弦定理得，由（1）知，所以即，由于，故，从而是直角三角形。【秒杀题型五】：三角形内角平分线定理。秒杀策略：三角形内角平分线定理：。 证明：在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，得。1.(2015年新课标全国卷II17)中，是上的点，平分，是面积的2 倍。 （1）求； （2）若，求和的长。【解析】：（1），由正弦定理得；（2）由面积比或正弦定理或角分线定理得，在与中，或与互补，分别利用余弦定理得：。
