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1、第八讲 交流电的基本概念 正弦量的相量表示时间：2学时重点和难点：正弦量的三要素、有效值、向量表示。目的：让学生掌握交流电路的概念，掌握正弦交流量的三要素（周期、幅值、初相位），掌握正弦交流量有效值的概念以及其使用意义，掌握正弦量的向量表示方法，掌握向量图的画法，掌握旋转矢量的概念和意义，复习复数运算的方法和几何意义。教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、正弦量的基本概念1、正弦量：大小随时间按一定规律作周期性变化且在一个周期内平均值为零的电压、电流称为交流电。随时间按正弦规律变化的电压、电流通称为正弦电量，或称为正弦交流电，图 常见的交流电波形2、正弦量的三要素：1）正弦量的波形图
2、1）正弦电流的瞬时值表达式 正弦电量在任意瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如用分别来表示正弦电流、正弦电压和正弦电动势的瞬时值。利用瞬时值表达式可以计算出任意时刻正弦电量的数值。瞬时值的正或负与假定的参考方向比较，便可确定该时刻电量的真实方向。3）正弦量的波形图和正弦电流的瞬时值表达式表明：一个正弦电量的特征表现在它变化的最大值（）、随时间变化的快慢（）和起始值（t=0时的数值，它取决于t=0时的角度）三个数值。若将这三个数值代入已选定的sin函数式中就完全确定了这个正弦量。4)相关物理量：a、振幅值正弦量是一个等幅振荡、正负交替变化的周期函数，振幅值是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值
3、，又称峰值。通常用大写字母加下标m来表示。振幅值表示正弦量瞬时值变化的范围或幅度。b、周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用T表示，单位为秒(s)。实用单位中还有毫秒(ms)、微秒(s)、纳秒(ns)。正弦量一秒内重复变化的次数称为频率，用f表示，其单位为赫兹(Hz)。周期和频率两者的关系为 周期和频率表示正弦量变化的快慢程度。周期越短，频率越高，变化越快。正弦量变化的快慢程度除用周期和频率表示外，还可用角频率表示，单位为。因为一个周期经历了2弧度，所以、T、f之间的关系为 c、相位和初相正弦电量在任意瞬间的变化状态是由该瞬间的电角度（）决定的。把正弦电量在任意瞬间的电角度称为相位
4、角，简称相位。相位反映了正弦量的每一瞬间的状态或随时间变化的进程。相位的单位一般为弧度(rad)。是正弦量在t=0时刻的相位，称其为正弦量的初相位（角），简称初相。初相反映了正弦量在计时起点处的状态（初始状态），由它确定正弦量的初始值。正弦量的初相与计时起点(即波形图上的坐标原点)的选择有关，且在t=0时，函数值的正负与对应的正负号相同。5）正弦量的三要素：当正弦量的振幅、角频率、初相确定时，这个正弦量就唯一地确定了。故将振幅、角频率(或f、T)、初相称为正弦量的三要素。3、正弦量的相位差：1）正弦电量的相位差对于两个同频率的正弦电量而言，虽然都随时间按正弦规律变化，但是它们随时间变化的进程可
5、能不同。为了描述同频率正弦量随时间变化进程的先后，引入了相位差。这里所述的相位差就是两个同频率的正弦量的相位之差，用或带双下标表示。设两个同频率的正弦量之间的相位差为可见，两个同频率正弦电量的相位差，等于它们的初相之差。2）正弦电量的相位差的几种情况：同频率正弦量初相相同（即相位差为零）时称之为同相，如图 (a)所示的u和i。 如果两个正弦量到达某一确定状态（如最大值）的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后，如图 (b)所示的u1和u2。当12，则称电压u1超前电压u2，或者说电压u2滞后电压u1 。 如果两个正弦量的相位差为(180)，称之为反相，如图 (c)所示的电流i1和电流
6、i2。同一正弦量，相反参考方向下的iab和iba反相。 如果两个正弦量的相位差为/2(90)，称之为正交，如图 (d)所示的u和i。图 54 相位差的几种情况3）说明：在正弦电路的分析计算中，为了比较同一电路中同频率的各正弦量之间的相位关系，可选其中一个为参考正弦量，取其初相为零，这样其它正弦量的初相便由它们与参考正弦量之间的相位差来确定。各正弦量必须以同一时刻为计时起点才能比较相位差，故一个电路中只能有一个参考正弦量，究竟选哪一个则是任意的。4、正弦量的有效值：正弦波是一种周期波，对周期波我们可以用有效值来表征它的大小。正弦电量的有效值是按电流的热效应来确定的，它根据热效应相等原理，把正弦电
7、量换算成直流电的数值，即正弦电量的有效值是热效应与它相等的直流电量的数值。当正弦电流i和直流电流I分别流过阻值相等的电阻时，如果在正弦电流的一个周期内它们所产生的热量相等，即这一直流电流的数值就称为正弦电流的有效值。正弦电量的有效值用大写字母表示。设有两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流I。当周期电流i流过电阻R时，该电阻在一个周期T内所消耗的电能为当直流电流I流过电阻R时，在相同的时间T内所消耗的电能为根据正弦电量有效值的概念，如令以上两式相等，亦即由上式可得有效值的定义式为 （54） 由式（54）所示的有效值定义可知：周期电流的有效等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取
8、平方根，因此，有效值又称为方均根值。类似地，可得周期电压的有效值 （55）若正弦电流，则根据式（54）可得正弦电流有效值与最大值之间的关系为类似地，可得 （56）由此可见，正弦波的有效值为其振幅的倍。有效值可代替振幅作为正弦量的一个要素。二、正弦量的相量表示 正弦电量的瞬时值表达式和波形图虽然能够表示正弦量的三要素，说明正弦电量随时间变化的规律，但是在正弦电路的分析计算中，经常需要将几个同频率的正弦量进行代数运算和积分、微分运算，用这两种表示方法运算十分烦琐、很不方便，因此有必要寻找出一种能够表示正弦量却又便于分析运算的表示方法。所以，用复数表示正弦电量，并由此得出正弦电量的相量表示方法，从而
9、使正弦交流电路的分析和计算得到简化。1、复数知识：1）复数及其表示形式一个复数是由实部和虚部组成的。复数有多种表达形式，常见的有代数形式、指数形式、三角函数形式和极坐标形式。设A为一复数，其实部和虚部分别为a和b，则复数可用代数形式表示为 复数也可以用由实轴与虚轴组成的复平面上的有向线段来表示。用直角坐标的横轴表示实轴，以1为单位；纵轴表示虚轴，以j为单位。实轴和虚轴构成复坐标平面，简称复平面。在复平面上复数是一个点，它又可用有向线段来表示，如图中的有向线段OA所示。 图 复数的相量表示复数还可以用三角形式、极坐标形式表示。根据图55，可得复数的三角形式为 式中r为复数的模（值），为复数的幅角
10、，可以用弧度或度来表示。r和与a 和b之间的关系为 ； 根据欧拉公式复数的三角形式可转变为指数形式，即 上述指数形式有时改写为极坐标形式，即 综上分析可知，复数的四种形式通过以上公式是可以相互转化的。 2）复数的运算a、加减法若 则 复数的相加和相减的运算也可以按平行四边形法在复平面上用向量的相加和相减求得，见图。 图 复数代数和的图解法b、乘除法设两个复数则或可见，两个复数相乘时，其模相乘，幅角相加。或 可见，两个复数相除时，其模相除，幅角相减。图（a）、（b）为复数乘、除的图解表示，从图上可以看出：复数乘、除表示为模的放大或缩小，幅角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。 （a） (b)图 复数乘
11、、除的图解示意例1 已知复数和，试计算。解：采用指数形式计算先将代数形式化为指数形式，即或采用极坐标形式计算先将代数形式化为极坐标形式，即则 2、正弦量的相量表示法：正弦量的相量表示法，就是用复数形式来表示正弦量的有效值和初相位，使正弦交流电路的分析和计算转化为复数运算的一种方法。这种方法使得正弦交流电路的分析计算相当简便。在线性正弦交流电路中，所有电压、电流都是同频率的正弦量。所以，要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相位就可以了。设某正弦电流为：其对应的相量表示为： 而式中 是一个与时间无关的复常数，其模是正弦量的有效值，辐角是正弦量的初相，二者是正弦量三要素的两个要素。当角频率给定
12、时，它们就完全确定了一个正弦量。由于在正弦电路中，所有电流、电压都是同频率的正弦量，频率常是已知的,便是一个足以表示正弦电流的复数。像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数就叫做正弦量的相量。相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，这一关系可用双箭头“”符号来表明，亦即，若 3、正弦量的相量图：相量作为一个复数，也可以在复平面上用有向线段表示，如图所示。相量在复平面上的图示称为相量图。图电压相量图 相量与的乘积则是时间的复值函数，在复平面上可用恒定角速度逆时针方向旋转的相量
13、表示。这是因为这一乘积的幅角为，它不是常量而是随时间的增长而增长的，如果相量的模按它所表示的正弦量的振幅取值，例如U，则该相量旋转时，在虚轴上的投影为，亦即为该正弦电压的瞬时值，如图所示。图电压旋转相量图必须指出，只有同频率正弦量的相量才可以画在同一相量图上。在相量图上可以直观反映各正弦量的相位关系。例2、正弦电压，正弦电流，写出和i的相量。解：电压相量 电流相量 例3、试求下列相量及频率所对应的正弦量。(1)(2)(3)解：(1) (2) (3)例3、 已知两个同频率正弦电流分别为,求,并画出相量图。解：设，其相量为（待求），可得 所以 相量图如图所示。图 例3相量图第九讲 电路基本定律的相量形式 时间：2学时重点和难点：电路基本定律的向量形式。目的：让学生掌握欧姆定律、基尔霍夫电流定律、电压定律的向量形式，掌握交流电路中阻抗及导纳的表现形式，掌握阻抗与导纳的串联、并联，掌握无源二端网络的等效复阻抗的计算方法。教学方法：多媒
