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1、数学分析（一）期末复习参考资料（08统计、信计）一、填空题1. 。2. 用数学的分析语言叙述的定义: 。3. 数集的上确界是 ，下确界是 。4设，则n阶导数 。5设，则 。6数列的上确界 ， 。7函数中 是跳跃间断点。8已知，则 。9 。10 。11已知，那么左导数 ，左导数 。12 。13函数的微分 。14曲线 在点处的切线方程为 。15写出函数带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 。16函数的凸区间是 。17. 设 若在点处连续，则 。18. = 。19. 曲线在点处的切线方程是 ，法线方程是 。20. 函数在区间 上满足罗尔中值定理公式中的 。21. 函数在区间上的最大值是 ，最小值是 。22
2、. 。23. 函数 的全部间断点是 。24. , 已知 , 。二、选择题1. 设 则当时，有（ ）。（A）与为等价无穷小 （B）与为同阶无穷小但不等价；（C）是的高阶无穷小 （D）.是的低阶无穷小；2 当时，不以为极限的定义是（ ）。（A）（B）（C）（D）3 数集的所有聚点的集合是 ( )（A） ； （B）；（C） ；（D）；4. 设在处二阶可导，且 , 则（ ）。（A）是的极小值点； （B）是的极大值点；（C）为曲线的拐点； （D） 以上都不是。5. 设，在内，则在内有（ ）。（A） （B） ( C ) （D）6. 设， 则在处，是（ ）。（A）不连续 （B）连续但不可导 （C）导函数连续
3、 （D）二阶导函数连续；7. 设 则 。 （A） （B） （C） （D） 8. 函数 在 上满足Lagrange中值定理 。 (A)-1 (B)1 (C) (D)9. 设 则 = 。(A) 0 (B) 1 (C) 2001! (D) 2001!+110. 设可导，则是比 的无穷小量。(A)高阶 (B)低阶 (C) 同阶 (D) 等阶11. 设在上具有一阶导数，且有，则函数在上 。(A)递增 (B) 递减 (C)有极大值 (D) 有极小值12有无穷多个是的（ ）条件。 A 充分但非必要 B 必要但非充分 C 充要 D 既非充分也非必要13设，则（ ）。 A 一定存在且等于 B 一定存在但不一定等
4、于 C 不一定存在,但若存在必等于 D 不一定存在,若存在也不一定等于 14设函数，则是的（ ）。 A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 第二类间断点15已知函数在闭区间上连续，则以下说法的是（ ）。 A 在上一定有界 B 方程在上至少存在一根 C 当还在上严格单调时, 在上一定存在连续的反函数 D 在上一定一致连续16若函数在点不可导，则（ ）。 A 曲线在点处的切线一定不存在 B 极限一定不存在 C 函数在点一定不连续 D 函数在点一定不可微17. 函数的定义域为（ ）(A) (B) (C) (D) 且.18. 函数在点处左、右极限都存在并相等是它在该处有极限的（ ）。(A)必要
5、条件 (B)充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件.19. 函数的间断点个数为（ ）。(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3.20. 设 则=(A) (B) (C) (D) .21. 已知 则= （ ）。(A) (B) (C) (D).22. 设为偶函数，则（ ）。22. 设（ ）。23. 定义域为值域为的连续函数（ ）24. 设函数在点存在左右导数，则在点（ ）。25. 设函数在上连续，则在上（ ）。三 计算题1.2.,求3.,求dy和.4.由方程确定隐函数y=f(x) ,求.5.设,求.6.,求常数a,b.7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 已知求.15.
6、 设 求 ;16. 设 求 ；17. 设求；18. 设求；19. 已知求，其中存在，且。20. 求数列极限；21. 求函数极限；22. 求函数极限；23. 求函数的导数（其中为正常数）；24. 求函数 的二阶导数；25. 讨论函数 的单调区间、极值与最值。26. 27. 28. 29. 求;30. 求;31. 求;32. 求;33. 求上半椭圆的参数方程；所确定的函数的导数及二阶导数。34. 。35. 设是可导函数，求。36. 。37. 设函数由方程所确定，求。38. 。39. 。40. 。41. 。42. 。四 证明题1. 证明 当。2. 证明，。3. 证明：方程在内恰有一个根。4. 设，
7、， 证明：（1）数列收敛；（2）。5. （1）应用Lagrange中值定理证明：若函数在区间上可导且，则为区间上的一个常量函数；（2）应用（1）的结果证明：若函数和均在区间上可导，且，则在上函数和只相差一个常数。6. 证明不等式。7. 设，证明：若对任何正数有则。8. 设，证明数列收敛，并求极限。9. 设，求证：方程有且仅有三个不同的实根。10. 设函数在处二阶可导，证明：。11. 用“”定义验证函数 在点连续。12. 设函数在区间上连续 , 且 ， 试证明: , 使 。13. 设函数在区间 上可导, 且导函数 在该区间上有界。试证明函数 在区间 上一致连续。14. 设函数在区间上二阶可导,且
8、，试证明: , 使 。15. 试证明: 对 , 有不等式。16. 用定义证明。17. 证明：方程，（其中为常数）在上可能有两个不同的实根。18. 若数列收敛于（有限数），它的任何子列也收敛于。19. 用定义证明。20. 设、在上连续，在内可导，其，则使得 ，其中 。21. 设数列满足条件，证明是柯西数列。22. 用定义证明。23. 证明不等式24. 设在有限开区间内连续，且，存在，则在上一致连续。25. 用“”定义验证。26. 设，证明是的极小值点。27. 证明在上内闭一致连续（即在中的任何闭子区间上一致连续）。28. 用“”定义验证数列极限。29. 证明：若函数在上连续，且（有限数），则在上
9、一致连续。30. 设在上二阶可导，求证： 使 31. 利用确界存在定理证明闭区间套定理。32. 设，常数，证明：。33. 设f(x)在(-,+)上连续,且,证明:存在,使。34. 若函数f(x)在a,+上可导,对任意x(a,+),有,M是常数,则。35. 证明函数在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续。五 叙述题1. 叙述闭区间套定理。2. 用肯定的形式叙述函数在数集D上无上界。3. 叙述Rolle微分中值定理。4. 叙述的定义。5. 叙述函数在数集D上一致连续的定义。6. 写出Taylor公式中，在点处的Taylor多项式，Lagranre型余项和Peano型余项。7. 述函数关
10、系与数列极限关系的Heine定理（即归结原理）。8. 叙述Lagrange微分中值定理。9. 用肯定的语言叙述在数列集D上不一致连续。10. 叙述数列的Cauchy准则。11. 叙述函数的一阶微分形式的不变性。12. 写出函数在点带 Lagrange型余项的Taglor公式。六 讨论题及其它类型题1. 求函数在区间上的单调区间和极值.2. 设函数具有一阶连续导数，存在，且， （1）确定 使 处处连续；（2）对以上所确定的值，证明具有一阶连续导数。3. 把长为的线段截为两段，问怎样的截法能使以这两段为边长所组成的矩形面积最大？4. 讨论函数 在点处的左、右导数。5. 设 ， ， ，讨论在上的单调性的最大值点。6. 讨论函数在点的左、右极限。7. 讨论的单调性、极值点、凸性和拐点。8. 指出函数的不连续点，并确定其不连续点的类型。9. 讨论函数的单调性、极值点、凸性、拐点。10. 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子。11. 指出函数的不连续点，并确定其不连续点的类型。12. 求函数在处的5次Taylor多项式。 1 / 11
