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1、第十章习题10-11 指出下列各微分方程的阶数：(1) x(y)2-2yy+x=0; (2) (y)3+5(y)4-y5+x6=0;(3) +2y+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0 解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x+C)e-x, y+y=e-x;(2) xy=C1ex+C2e-x, xy+2y-xy=0;(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t， x+9x=5cos2t;(4) =1， xyy+x(y
2、)2-yy=0 解: (1) 是微分方程的解.(2) 在方程两边对x求导有上方程两边对x求导有,即 即 所以所确定的函数是方程的解.(3) 所以 是微分方程的解. (4) 方程两边对x求导得 (1)式两边对x求导得 (2)式两边同乘以x得 (3)-(2)得 所以 是方程的解. 3 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程 解: 设是曲线上任一点,则过该点的切线方程为,由已知时,得 即 为所满足得微分方程.4 求通解为y=Cex+x的微分方程，这里C为任意常数 解: 由得,而由已知得 故通解为的微分方程为.习题10-21求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解
3、：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y， 解: (1) 原方程分离变量得 ,两边积分得 即 ,即, ,记,有 , 而当 即 时,显然是方程的解,上式取时包含了,故方程的解为 (c为任意常数)(2) 分离变量得: ,两边积分得, ,可知 ,即 又 显然是方程的解. 方程的通解为 (c为任意常数).(3) 分离变量得 , 两边积分得 ,即 从而 ,记 有 .(4) 分离变量得,两边积分得, 即 .(5) 原方程可化为:,
4、两边积分得 由 得 , 所以原方程满足初始条件的特解为 即 .(6) 分离变量得 , 两边积分得 由 得 , 故原方程满足初始条件的特解为 . (7) 分离变量得 ,两边积分得 , 由 得 ,所以,原方程满足初始条件的特解为 . 2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T0的物体放在保持常温为a的室内，求温度T与时间t的关系. 解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有 (k为比例系数)分离变量得 ,两边积分得, ,得, 由题意有时,代入上式得, . (k为比例系数).3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(
5、2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0 解: (1) 原方程可化为 , 令 则 , 代入原方程得: 即 两边积分得 即 将代入得 .(2) 令,则 代入原方程得: 即 两边积分得 ,则 ,将代入得.(3) 原方程可化为 , 令 ,则 , 代入上式得, 两边积分得 , 即 ,将 代入得 .(4) 原方程可化为 , 令 , 则 ,代入上式得 , 即 , 两边积分得 即 将代入得 ,由 得 , , 即 所以原方程满足初始条件的
6、特解为.(5) 原方程可化为 , 令 则 , 上方程可化为 即 两边积分得 即 亦即 将 代入得 由初始条件 得 故原方程满足初始条件的特解为 .(6) 原方程可化为 解方程组 得 作变换 ,原方程化为 这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令 , 方程可化为 两边积分可得,整理可得,将代入上式得将代入上式得(7)原方程可化为令,则,代入上方程得 即 即,积分得.将代入上式得,.4 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y
7、(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)，y(0)=1;(9) y；(10) y 解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程,(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(3) 原方程可化为 ,这是一个关于的一阶齐次线性微分方程,且 , 所以 (4) 原方程可化为 ,这是一个关于的一阶非齐次线性微分方程,且 , 所以 (5) 这是一阶非齐次线性微分方程且,所以 将初始条件 代入上式中得故,原方程满足初始条件的特解是 . (6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 ,所以 将初始条件代入上式得,所以原方程满足初始条件的特解是. (7) 这
8、是一阶非齐次线性微分方程,且,所以 将初始条件 代入上式得 所以,原方程满足初始条件的特解是 . (8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且,所以 将初始条件 代入上式得 ,故原方程满足初始条件的特解是: . (9) 原方程可化为 ,这是 的伯努利方程,方程两边同除以,得 令 ,则上面方程化为 ,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为将代入上式得原方程的通解为 . (10) 原方程可化为 ,这是关于的的伯努利方程,令,上述方程可化为这是关于y的一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为: 将代入上式得原方程的通解为.5 设函数f(x)在1,)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1,x=t(t1)与x
9、轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V(t)t2f(t)-f(1)试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2) =的特解 解: 依题意有 ,两边同时对t求导有: 即 亦即 故 所满足的微分方程是 , 该方程可化为 ,这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为: 将初始条件 代入上式得 ,所以,该微分方程满足条件的特解是 .6 设某生物群体的出生率为常数a，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b0)如果t=0时生物个体总数为x0，求时刻t时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t的连续可微变量看待)解: 设
10、时刻t时的生物个体的总数为x,依题意得 即 解得 又 时 ,代入上式得 ,故 .7 已知f(x)3x-3， 求f(x)解: 方程两边对x求导得 即 这是一阶非齐次线性微分方程,其通解为 由已知 得 ,代入上式得 , 所以.8 已知某商品的成本CC(x)随产量x的增加而增加，其增长率为C(x)，且产量为零时，固定成本C(0)C00求商品的生产成本函数C(x) 解: 由得,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为 由初始条件代入上式得 .所以商品的生产成本函数.9 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S也在增
11、加，即S为x的函数S=S(x)，其变化率为，其中a,b均为正常数若当x=x0时SS0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S最高? 解: 原方程 可化为 ,这是一阶非齐次线性微分方程,且,其通解为,由已知时,代入上式得,又由得,令得唯一驻点,将代入得,由问题的实际意义知,最值存在,所以当是时间时,其平均单位时间的使用费S最高.习题10-31 求下列微分方程的通解：(1) =xex； (2) y=；(3) (1+x2)y+2xy=0； (4) y-(y)2=0；(5) +1=0； (6) yy-(y)2+(y)3=0解:（1）对方程两端连续积分三次得这就是所求的通解. （2）对方程两端
12、连续积分两次得 这就是所求的通解.（3）令,则，于是原方程可化为 分离变量得，积分得 ,即.再积分得.（4）令，则，原方程可化为 ，即 两边积分得,即.亦即 再积分得 （5）令,则,原方程变为,即.两边积分得 即 .亦即即.积分得.从而 .这就是所求的通解.（6）令,则p,代入原方程得.即若p=0,则是方程的解.若，分离变量得.积分得 即 .于是: 即.积分得 .2求下列微分方程满足初始条件的特解：(1) =lnx，y(1)=0, y(1)=-, y(1)=-1;(2) x2y+xy=1, y(1)=0, y(1)=1;(3) y+=1, y(0)=0, y(0)=1解：（1）方程两边积分得：，由得，于是,上式两边再积分得 .由得，于是两边再积分得.由得.所以，原方程满足初始条件的特解为.（2）令，则，原方程化为.即，这是一阶非齐次线性方微分方程.,，其通解为即，由得，于是,从而
