细心整理第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 根本概念习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并答复方程是否线性的：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕．解 〔1〕一阶线性微分方程；〔2〕二阶非线性微分方程；〔3〕一阶非线性微分方程；〔4〕二阶线性微分方程；〔5〕一阶非线性微分方程；〔6〕二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程的解，这里是常数．〔1〕；〔2〕是随意常数)；〔3〕；〔4〕是随意常数)；〔5〕是随意常数)；〔6〕是随意常数)．解 〔1〕，所以，故为方程的解．〔2〕，所以，故为方程的解．〔3〕，所以，故为方程的解．〔4〕，所以，故为方程的解．〔5〕，所以，故为方程的解．〔6〕，故，因此为方程的解．3．验证以下各函数是相应微分方程的解：〔1〕，；〔2〕，〔是随意常数〕；〔3〕，〔是随意常数〕；〔4〕，；〔5〕，；〔6〕，；〔7〕，；〔8〕，．证明 〔1〕因为，所以．〔2〕由于，故．〔3〕由于，，于是．〔4〕由，因此．〔5〕因为，所以．〔6〕从，得．〔7〕由，得到．〔8〕．4．给定一阶微分方程，〔1〕求出它的通解；〔2〕求通过点的特解；〔3〕求出及直线相切的解；〔4〕求出满足条件的解；〔5〕绘出〔2〕，〔3〕，(4)中的解的图形．解 〔1〕通解 ．〔2〕由，得到，所以过点的特解为．〔3〕这时，切点坐标为，由，得到，所以及直线相切的解为．〔4〕由，得到，故满足条件的解为．〔5〕如图1-1所示．图1-15．求以下两个微分方程的公共解：〔1〕；〔2〕．解 公共解必需满足，即，得到或是微分方程和的公共解．6．求微分方程的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为，两边对求导得，，假设，那么，得到，不行能．故必有，那么，代入原方程有，或，所以， ，得到 或．所求直线积分曲线为和．7．微分方程，证明其积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设是微分方程的积分曲线，那么及其关于坐标原点成中心对称的曲线是．由于适合微分方程，故，分别以代，亦有，而由，得到，从而也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度及物体和空气的温差成比例，假如物体在20分钟内由C冷至C，那么，在多久的时间内，这个物体的温度到达C？假设空气的温度为C．解 设物体在时刻的温度为，，微分方程为，解得 ，依据初始条件，得，因此，依据 ，得到，由此，所以得到，当时，解出〔分钟〕〔小时〕．在1小时的时间内，这个物体的温度到达C．9．试建立分别具有以下性质的曲线所满足的微分方程：〔1〕曲线上任一点的切线及该点的向径夹角为；〔2〕曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的局部等于定长；〔3〕曲线上任一点的切线及两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数；〔4〕曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的局部被切点等分；〔5〕曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；〔6〕曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；〔7〕曲线上任一点的切线的斜率及切点的横坐标成正比．〔提示：过点d的横截距和纵截距分别为和〕．解 〔1〕曲线上任一点为，那么，即．〔2〕曲线上任一点处的切线方程为，及两坐标轴交点为和，两点间距离为，即．〔3〕由〔2〕，有 ，或．〔4〕由〔2〕，有 ，或．〔5〕由〔2〕，．〔6〕同样由〔2〕，，或．〔7〕易得 〔为常数且〕．。