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1、第二节 抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的.本节介绍来自正态总体的几个常用的统计量的分布.1.2分布设X1，X2，Xn是来自总体N（0，1）的样本，则统计量=X12+X22+Xn2所服从的分布称为自由度为n的分布（-distribution），记为.分布的概率密度函数为f（y）=f（y）的图形如图6-2所示.图6-2分布具有以下性质：（1） 如果，且它们相互独立，则有.这一性质称为分布的可加性.（2） 如果，则有E（）=n，D（
2、）=2n.证 只证(2)因为XiN（0，1）故E（Xi2）=D（Xi）=1，D（Xi2）=E（Xi4）-E（Xi2）2=3-1=2，i=1，2，n.于是图6-3对于给定的正数，01，称满足条件的点为分布的上分位点（Percentile of ），如图6-3所示，对于不同的，n，上分位点的值已制成表格，可以查用（见附表），例如对于=0.05,n=16,查附表得=26.296.但该表只详列到n=45为止.当n45时,近似地有，其中z是标准正态分布的上分位点.例如(1.645+)2=67.221.2.t分布设XN（0，1），Y，并且X，Y独立，则称随机变量t=服从自由度为n的t分布（t-distri
3、bution），记为tt（n）.t（n）分布的概率密度函数为h（t）=， -t.（证略）.图6-4中画出了当n=1，10时h（t）的图形.h（t）的图形关于t=0对称，当n充分大时其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.但对于较小的n，t分布与N（0，1）分布相差很大（见附表）.图6-4 图6-5对于给定的，01，称满足条件P（tt（n）= =的点t（n）为t（n）分布的上分位点（见图6-5）.由t分布的上分位点的定义及h（t）图形的对称性知t1-（n）=-t（n）.t分布的上分位点可从附表查得.在n45时，就用正态分布近似：t（n）z.3.F分布设U，V，且U，V独立，则称随机变量F=服从自
4、由度为（n1，n2）的F分布（F-distribution），记FF（n1，n2）.F（n1，n2）分布的概率密度为 (证略).的图形如图6-6所示.图6-6 图6-7F分布经常被用来对两个样本方差进行比较.它是方差分析的一个基本分布，也被用于回归分析中的显著性检验.对于给定的，01，称满足条件PFF（n1，n2）= =的点F（n1，n2）为F（n1，n2）分布的上分位点（图6-7）.F分布的上分位点有表格可查（见附表）.F分布的上分位点有如下的性质：F1-（n1，n2）=.这个性质常用来求F分布表中没有包括的数值.例如由附表查得F0.05(9,12)=2.80，则可利用上述性质求得F0.95
5、(12,9)=1/F0.05(9,12)=0.357.4.正态总体的样本均值与样本方差的分布设正态总体的均值为，方差为2，X1，X2，Xn是来自正态总体X的一个简单样本，则总有E（X）=，D（）=2/n，N（，2/n）.对于正态总体N(,2）的样本方差S2， 我们有以下的性质.定理6.1 设X1，X2，Xn是总体N（，2）的样本，X，S2分别是样本均值和样本方差，则有（1）；（2）与S2独立.（证略）.定理6.2 设X1，X2，Xn是总体N（，2）的样本，X，S2分别是样本均值和样本方差，则有.证 因为，且两者独立，由t分布的定义知.化简上式左边，即得.定理6.3 设X1，X2，与Y1，Y2，分别是来自具有相同方差的两正态总体N（1，2），N（2，2）的样本，且这两个样本相互独立.设，分别是这两个样本的均值.S12=，S22=分别是这两个样本的样本方差，则有：，其中 SW2=.（证略）.本节所介绍的三个分布以及三个定理,在下面各章中都起着重要的作用.应注意，它们都是在总体为正态总体这一基本假定下得到的.例6.2 设总体X服从正态分布N（62，100），为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解 设需要样本容量为n，则，P（60）=.查标准正态分布表，得（1.64）0.95.所以0.21.64,n67.24.故样本容量至少应取68.3
