《选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1. 坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的 区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比 较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 意义.2. 参数方程：了解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲平面直角坐标系伸缩变换：设点P3,力是平面直角
2、坐标系中的任意一点，在变换甲Jxi xn 。）,的作用I y， y,（四0）.下，点P（x, y）对应到点P!（xx, y，称中为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸编变换。方法1:求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出X、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变(换后的图形。I伐-技音斗 = 1I上打矿一 JL8 12(3)=如一方法2 :待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中，求下列图形变换的伸缩变换：.直线X 21； = 2变成直线由矿
3、=1 ;.曲线一矿一况=0变成曲线/ 一顷尸一 4=0二极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 极坐标系。2.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离I OM I叫做点M的极径，记为p ；以 极轴Ox为菇苞，射线OM为终边的ZxOM叫做点M的极角，记为。有序数对(p,。)叫做点M的，。,极坐标，记为M (p, 6).M3，e)极坐标(p,6)与(p,6+ 2馈)(k g Z)表示同一个点。极点O的坐标为(0,6 )(6 g R).3.若p
4、 0，规定点(-p ,6)与点(p ,6)关于极点对称，即(-p ,6)与(p,兀+6)表示同一点。 如果规定p 0,0 6 2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(p, 6)表示；同时，极 坐标(p, 6)表示的点也是唯一确定的。4.极坐标与直角坐标的互化：p 2 = x 2 + y 2 ,x = pcos6,y = psin6,tan6 = (x 丰 0) x如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x , y), ( p,9).(1)极坐标化直角坐标h=8in 8(2)直角坐标化极坐标|p2x2+j2 ,I
5、 tan。= ( x0 )-I x方法3 :极坐标与直角坐标的互化剥用p =+此右手)“汹=-，即可得出一本题考查了直角坐标方程化为极坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题一例：(1 )点M ( 2, 2 j3)的极坐标是一 / 2 (2 )点M 2,-n的直角坐标k 3 J已知点的直角坐标分别为(3, x/S) 1 (0,-),(；),(-2. -2/3),求它们的极坐标一练：3三, 简单曲线的极坐标方程1.的极坐标方程：2.线的极坐标方程：(1) 特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0 , 0)P = r(0W9v2n)圆心在点(r , 0)p 二 2rcos_ 9n n
6、(-2 展 v2)n 圆心在点(r , 2)p - 2rsin 9(0W9vn)Q圆心在点(r ,n)p - 2rcos_9(%竺)(22 )0 :Li、上3n圆心在点(r ,三)p - 2rsin_9(-nv00)CT(2) 般情形：设圆心C(p0,90),半径为r,M(p,。)为圆上任意一点，则CM = r , COM=e-e ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为P2 - 2p0pcos(。- % + P2 - r2 = 0r 2 = p 2 + p 2 2pp cos(0 -0 )(1) 特殊情形如下表:直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为a(1) 9 = a(pER)或。二 a +
7、n(p e R)(2) 9 = aQ0)和 6 = n + a(p0)J过点（。，0），且与极轴 垂直pcos_ 9 二 a(nn)-C (*f0（ ttA过点,g,且与极 轴平行psin 9 二 a(09n)她*Ia时.QA过点（。,0）倾斜角为apsin(a - 6) = asin a(0en)01（2）一般情形，设直线l过点P（p0 ,。0），倾斜角为a,M（p,。）为直线l上的动点，则在WPM中利用正 弦定理可得直线l的极坐标方程为psin（a - ff） =P0sin（a -。0）方法4 ：直角坐标方程与极坐标方程的互化在直角坐标系处中，直线 -2,圆（为：工- 1）； + 3-邪-
8、 1 ,以坐标原点为极点，t轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I ）求G，C的极坐标方程;（H）若直线e的极坐标方程为臼-：la ,设e与思的交点为皿气,求心小的面积。方法5 :极坐标系下的运算在极坐标系中，直线也祯- /叩抑- 1 - 0与圆- 2(wf咬于一A , B两点，则|.国-方法6 :曲线极坐标方程的求法在极坐标系中，圆c是以点G(T)为圆心2为半径的圆一则圆c的极坐标方程为四、柱坐标系与球坐标系简介(了解)1、柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Qxyz.设P是空间任意一点，它在Qxy平面上的射影为Q , 用心0 ,092n)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的
9、位置可用有序数组(p，饥z ) (zER) 表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组顼之间的种对应关系.把建立上述对应关系的坐标 系叫做柱坐标系，有序数组(p , 9 , z)叫做点P的柱坐标，记作P, z),其中0 , 0。2再zR .x=cos e（2）空间点P的直角坐标（x , y , z）与柱坐标3,0 , z）之间的变换公式为广in e .z = z2、球坐标系P（与皆）（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Qxyz.设P是空间任意一点，连接0P ,记IOP = r,OP与 Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正 角为
10、幻这样点p的位置就可以用有序数组空，也表示，这样，空间的点与有序数组r，中，0）之间建立 了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组（r，中，0）,叫 做点P的球坐标，记作P（r ,。, 0），其中r0 , 0V中5,0M0b0)的参数方程是|(弦是参数),规定参数弦a2 b2v = bsin 的取值范围是0 , 2n).| x 二 bcos (2) 中心在原点，焦点在V轴上的椭圆艾+若=Kab0)的参数方程是广面(弦是参数)，规定参数以 的取值范围是0 , 2n).(x-h)2 ( V - k ) 2I x = h + acos (3) 中心在(人,k
11、)的椭圆普通方程为一-+ 讯二1 ,则其参数方程为(弦是参数).a2b2v = k + bsin 2. 双曲线的参数方程Y2 v2I x 二-sec 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线芹-节二1的参数方程昌（为参数）,规定参数以的取-2 耸y = btan n 3n值范围为0, 2n ）且 护=2 ,中壬亍.| x 二 btan （2）中心在原点,焦点在y轴上的双曲邃-的参数方程是-3. 抛物线的参数方程（1）抛物线y2 = 2px的参数方程为，2pta（t为参数）.y 二 2pt（2）参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.方法1 ：参数方程和普通方程的互化已知曲线c，二”直线n m
