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1、 定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具,在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用,如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用关键词：定积分;原函数；边际函数;最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深,也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后,全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动
2、了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用,微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科,历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进,微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用.1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数) ，一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分.可以求总需求函数,总成本函数， 总收入函数以及总利润函数.设经济应用函数u( x ) 的边际函数为 ,则有例1
3、48577; 生产某产品的边际成本函数为,固定成本 （0） =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。解总成本函数 = = 2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量， 则直接采用定积分来解决.例2 已知某产品总产量的变化率为( 件天），求从第5 天到第10 天产品的总产量。解 所求的总产量为（件)3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x 个产品的边际成本C =10+ 2x ,其固定成本为元，产品单价规定为00元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。解⣵
4、77;总成本函数为 =总收益函数为R( x ）= 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ） -C（ ） 40- x令= 0, 得x 200因为(20) 0所以, 生产量为00 单位时,利润最大。最大利润为L（ 2)=400 2001003900(元) 。例 某企业生产x 吨产品时的边际成本为（ 元吨） 。且固定成本为9元， 试求产量为多少时平均成本最低?解： 首先求出成本函数, 得平均成本函数为 求一阶导数令, 解得（= -30 舍去)。因此， ( x) 仅有一个驻点= 300, 再由实际问题本身可知（ x ) 有最小值, 故当产量为300
5、 吨时, 平均成本最低。例、某煤矿投资20万元建成,在时刻t的追加成本和增加收益分别为 （百万元/年)试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润?最大利益是多少? 解：有极值存在的必要条件 ，即可解得 t=8故时是最佳终止时间，此时的利润为 因此最大利润为18.4百万元4利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中，一般说来，商品价格低， 需求就大； 反之， 商品价格高， 需求就小, 因此需求函数Q = f（ P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产， 因而供给就少; 反之,商品价格高， 供给就多， 因此供给函数Q= g()是价格P的单调递增函数。由于函数
6、Q= ( P)与Q(P）都是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P , 此时函数P=也称为需求函数, 而P也称为供给函数。需求曲线（函数)=与供给曲线(函数) P=的交点A（P* , *)称为均衡点.在此点供需达到均衡。均衡点的价格P 称为均衡价格,即对某商品而言， 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格）购得某种商品，由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=购买某商品并情愿支付，* 为均衡商品量, 则在 Q, Q内消费者消费量近似为， 故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积, 如图如果商品是
7、以均衡价格P*出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此， 消费者剩余为它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品，由此所获得的额外收入， 称它为生产者剩余。同理分析可知：P* 是生产者实际出售商品的收入总额,是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为它是曲边三角形的面积例6设某产品的需求函数是P=如果价格固定在每件1元,试计算消费者剩余。解 已知需求函数P=,首先求出对应于*= 1 的Q值, 令 = 10, 得Q* 1000。于是消费者剩余为 =(0Q=666
8、6.67(元）.例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +。01， 如果产品的单价为25元, 计算生产者剩余。解 首先求出对应于= 42 的的值，令42=0+ Q0 01， 得一正解=0,于是生产者剩于为 = =453339(元)。5 利用定积分决定广告策略问题例8某出口公司每月销售额是1 000000美元，平均利润是销售额的1%。根据公司以往的经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线（ 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为美元的广告活动. 按惯例， 对于超过美元的广告活
9、动,如果新增销售额产生的利润超过广告投资的1%， 则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告?解由公式知,12 个月后总销售额是当t=2时的定积分即总销售额= =（美元)公司的利润是销售额的10， 所以新增销售额产生的利润是（美元)15600 美元利润是由花费0000 美元的广告费而取得的，因此， 广告所产生的实际利润是100- 13000= 260(美元）这表明赢利大于广告成本的%， 故公司应该做此广告。6 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为(t） , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值=。例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算，该企
10、业在T 年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为, 试求：(1） 该投资的纯收入贴现值；( )收回该笔投资的时间为多少?解（ ) 求投资纯收入的贴现值:因收入率为a, 年利润为r， 故投资后的T 年中获总收入的现值为Y 从而投资所获得的纯收入的贴现值为( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得T =即收回投资的时间为T=例如，若对某企业投资A = 800(万元），年利率为5 , 设在0 年中的均匀收入率为=200（万元/ 年）,则有投资回收期为=( 年)由此可知，该投资在2年内可得纯利润为178
11、。2万元,投资回收期约为4。46年。例0有一个大型投资项目,投资成本为A= 1000( 万元) ， 投资年利率为5 , 每年的均匀收入率为a200(万元） , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值（或称为投资的资本价值) .解 由已知条件收入率为a= 20( 万元）,年利率r= 5, 故无限期的投资的总收入的贴现 = = = =000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为= y-A 40-100003000( 万元)= 3亿元.例11。一对夫妇准备为孩子存款积攒学费,目前银行的存款的年利率为5 , 以连续复利计算, 若他们打算1年后攒够5万元， 计算这
12、对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱？解 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t）= A), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元,由公式得又得（元）。即这对夫妇每年应等额地存入4517元, 10年后才能为孩子攒够5万元的学费。总结定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系,以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处.只要勤于学习， 善于思考, 勇于探索，就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力.参考文献1 误传生，经济数学微积分,高等教育出版社，200
13、32 侯风波，经济数学基础,高等教育出版社,20043 华东师范大学数学系，高等教育出版社, 194 王向东，,上海科技文献出版社,195 陈锡璞，工程经济,机械工业出版社，北京，1994.06 。 菲赫金哥尔茨, 微积分学教程,高等教育出版社，067 白银凤罗蕴玲，微积分及其应用,高等教育出版社Teplcation f dfnite intgralin the ecoomicbtrat：Definie itegals n ssetial of calulus，nd is also n importantmns tolvemaypractcl roesDefinite intgralis ap
14、ledienomcs widely，and is abundant n cotent.I ths apr，t appliation of definte ngral in sucase as agreate roctions fuctin， nvestmentsrategy, consumrs rplus ad procersrpus, is illustred wih sefi examples.Ke ord： deiteinegr;he gifucion;mrgrnl function;miimum and maxmm; agegtepoduti funcin, invest ment;urs。
