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1、圆中常用辅助线的添法作者:会圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助一、 作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.例1.如图，是O的直径,POAB交O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PMPN=2PO2.分析：要证明PMPN=2PO2，即证明PMPC =PO2，过O点作OCPN于C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明PMPC=PO2，要证明PMPC=PO2只需证明RtPOCRtPMO.证明: 过圆
2、心O作OCPN于C，PC= PNPOAB, OCPN，MOP=OCP=90.又OPC=MPO，RtPOCRtPMO. 即PO2= PMPC. PO2= PMPN，PMPN=2PO2.二、 作直径所对的圆周角在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。例2 如图，在ABC中，C=90，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N（1） 求证：BABM=BCBN；（2） 如果CM是O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值分析：要证BABM=BCBN，需证ACBNMB，而C=90，所以需要NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以
3、连结MN可得BMN=90。MNOCA（1） 证明：连结MN，则BMN=90=ACBACBNMBABBM=BCBN（2） 解：连结OM，则OMC=90N为OC中点BMN=ON=OM，MON=60OM=OB，B=MON=30ACB=90，AB=2AC=23=6三、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一.例3已知：如图，ABC中，B=90，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC于D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.求CD的长.分析：D为切点，连结DO，则ODA=90.根据切线长定
4、理，有CD=CB.DO=EO=半径r，在RtADO中根据勾股定理或RtADO RtABC，即可求出CD.证明: 连结DO ODAC于D, ODA =90. AB过O点, B=90. BC为O的切线, CD=CB设CD=CB=x,DO=EO=y在RtADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1, 解得 y= 在RtABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, x=3 CD=3.四、连结公共弦在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。例4已知：如图，O1和O2相交于点A和B，O2
5、O1的延长线交O1于点C，CA、CB的延长线分 别和O2相交于点D、E，求证：AD=BE. 分析：O1和O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.证明：连结AB交O2O1于P点 ，O1 O2A B且O1O2平分AB CA=CBACP=BCP 点O2到线段AD、BE的距离相等 AD=BE. 五、作连心线 两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.例5已知：如图，A和B外切于P点，A的半径为r，B的半径为3r, CD为A、B的外公切线，C、D为切点，求：（1）CD的长；（2）CD与
6、弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.解：（1）连结AB、AC、BDA和B外切于P点，AB过P点CD为A、B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD过A点作AEBD于E，则四边形ACDE为矩形.DE=AC= r，BE=BD-DE=3r-r=2r在RtAEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2rAE= CD=2r .（2）由（1）可知COSB= ，B=60. CAB=CAE+BAE=90+30=120.S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=4 =（4）六、作公切线分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如下题中所作的内公切线MN起到沟通
7、两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.例6已知：O1和O2外切于点A，是O1和O2的外公切线，、为切点.求证：A证明：过切点作公切线交于点，是O1和O2的外公切线，PBA=PAB，PAC=PCAPBA+PAB+PAC+PCA= 180 .BAC= 90 .A.七、切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅
8、助线的小规律.1无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知：如图，AB是O的直径，ADAB于A， BCAB于B，若DOC= 90.求证：DC是O的切线.分析：DC与O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OEDC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在DEO、DAO中，需证明DEODAO证明：作OEDC于E点，取DC的中点F，连结OF.又DOC= 90. FO=FD 1=3.ADAB，BCAB, BCAD, OF为梯形的中位线.OFAD . 2=3. 1=2.DO是ADE的角
9、平分线. OADA，OEDC，OA=OE=圆的半径. DC是O的切线.2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8已知：如图，AB为O的直径，BC为O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是O的切线.分析：D在O上，有点连圆心，连结DO，证明DODC即可. 证明：连结DO，OCAD DAO=COB，ADO=DOC而DAO=ADODOC=COB，又OC=OC，DO=BO DOCBOC ODC=OBC， BC为O的切线，切点为BOBC=90， ODC=90，又D在O上，CD是O的切线.我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.
