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1、十、物理问题中的数学方法一、 重点难点数学是解物理题的重要工具，在考试说明中明确指出：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果作出物理结论，必要时能运用几何图形,函数图像进行表达、分析。在解决物理问题中，常用到的数学知识，数学方法有：二次函数配方法；判别式法；不等式法；三角公式法；几何方法；数列知识；韦达定理；更比定理等等。虽然数学是中学物理解题中不可缺少的工具和方法，但物理学中的数学是处于从属地位，它的应用受到 物理实质的制约，有两个数学问题需要注意：1、 数学上有解，物理上未必有解如：在光滑水平面上，一个质量为0.2Kg的小球，以5m/s的速度向前运动，途中与另一
2、个质量为0.3Kg的小球发生正碰，假设碰撞后第二个小球的速度为4.2m/s。求碰后第一个小球的速度。由于正碰，则动量守恒： m1V1=m1V1/+m2V2/解得：V/=-13m/s以上解题过程似乎毫无破碇，从数学上看也是有解的，但从物理过程来说是不可能的。因为碰撞前的总动能；碰后的总动能，E/E,这违背了能量守恒定律，物理上是无解的，这道题的毛病出在所给数据不实际情况。20101420x14x3034y图1图2图32、 数学上无解，物理上未必也无解如：一个左端封闭、右端开口的U形管，用水银封闭一段20cm长的空气柱（图1），若U形管倒转1800，开口向下且开口端仍在右方，求空气柱的长度（设右臂
3、很长，而两 臂相距很近，大气压强为76cmHg）。如图2、图3，根据玻意耳定律有9020=（62-2x）(20+x)整理有x2-11x+280=0据b2-4ac=112-42800，则当若a0，x20,则一定有x1x2如果x1+ x2=P（定值），则当x1= x2时，x1x2有极大值为P2/4。定积求和觅极值：设有变量x1、x2，且x10，x20,则一定有x1+ x2如果x1x2=P（定值），则当x1= x2时，x1+ x2有极小值（4）利用三角函数关系式求物理量的极值物理习题中常碰到某物理量可表达为asin+bcos或sincos的形式，此类物理极值可用三角函数关系式求解。 =asin+bc
4、os=,+=/2时，y有极大值：，当=/4时，ymax=A/2(5)利用几何方法求物理极值根据给定的约束条件，通过尺轨作图和简单的计算而求最大值和最小值的方法。这种方法简便有效，只要图形画出，即可一望而解，常见的有两类问题： 最短线的问题，依据连接两点间的线段距离最短和定点到定直线的垂线段最短等解题。 短时线问题，物体先后以两种速度运动时耗时最少的路线称不一定是最短线，有时是一条折线，这种耗最少的线称为短时线。2、 其他物理总是中的数学方法（1）数列知识解物理问题物体在运动过程中，某些相同或相似的物理过程，往往会重复出现。虽然在这些过程中，遵循相同的物理规律，但表征物体运动的某些物理量，将随过
5、程的重复，发生有规律的变化，组成一个有一定规律的数列。要解此类问题，必须掌握数列知识和解法。物理问题中遇到 的数列，大致有等差数列、等比数列及一般数列。等差数列的通项公式为an=a1+a(n-1)d，求和公式；等比数列的通项公式为an=a1qn-1,求和公式为，在等比数列中，若其公比q1，且数列的项数n 为无穷大,称为无穷递缩等比数列，其求和公式可简化为。对一般数列，可以在解题过程中总结变化规律，写出其通项公式，尽可能地化为已知数列求解。（）韦达定理解物理问题若某物理量存在着两解x1、x2且x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则由韦达定理可知：x1x2b/a，x1x2=c/a。
6、由此可求得x1、x2的值，以及的值。（）用更比定理解物理问题更比定理的内容是：若，则。此定理对解决两物理量都变化但变化过程中比值恒宣的问题非常简单。物理问题中的数学方法很多，这里只指出几种。供参考。P/atnV/L432124680三、 典型例题分析【例】如图，一定质量的理想气体，在状态时温度为。求气体从状态沿直线变到状态的过程中所能达到的最高温度。【解析】设气体在任一状态C的温度为T、压强为P、体积为V，据理想气体状态方程有：直线AB的斜截式方程为：P=-0.5v+4（2）由（1）（2）得：T=-25V2+200V当V=-b/2a=:【例2】烛焰和光屏间的距离是L，在它们蹭放一个凸透镜，凸透
7、镜的焦距是f。试证明要使烛焰的像成在屏上，L至少为4f。证明：设物距为u，像距为v，u+v=L（1）由成像公式得：由（1）（2）得：u2-Lu+Lf=0 判别式烛焰能成像于屏上，u有实根，要使烛焰成像于屏上，L至少为4f。Lh【例3】如图，粗细均匀的玻璃和L=100cm，开口向上竖直放置时，上端有一段齐口的水银柱高h=25cm封闭着270C的空气柱，大气压强为P0=75cmHg。现使空气柱温度逐渐升高，问：欲使管内水银全部溢出，温度至少长多高？【解析】设管内空气柱温度升高到T开时，管内党有水银柱xcm，管的横截面积为s，则有：将数据代入并整理，得：由于（75+x）+(100-x)=175为常数
8、，所以当（75+x）=(100-x)时，即当x=12.5cm时，T有极大值为Tmax=306.25K.四、 针对训练1、如图，理想变压器输入端接在电动势为E、内阻为 r的交流电源上，输出端接上负载R，则变压器原副线圈的匝数之比为多大时，负载R上获得的功率最大？最大功率是多大？2Q,mB2、如图，顶角为2的光滑圆锥，底面水平，顶角朝上，置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，有一质量为m带电量为q的小球沿着锥面作水平圆周运动，则小球作圆周运动的最小半径是多少？3、一个质量为m的粒子和一个质量为M的初始静止的粒子正碰，碰撞后有一定的能量贮存在M中，问 m的粒子必须具有多大的最小初速度V0？ABF
9、4、如图，长2a、重为G的光滑均匀杆AB，其A端用光滑的铰链连接在水平地面上，B端搁在高度为a的物体上。当用水平力把物体缓慢地向左推时，求物体给杆的最大支持力。5、河宽L=1080m，河水流速V1=2.5m/s，一人相对于河水以V2=1.5m/s的速率划船过河，船头与河岸成多大角度时，船 对岸埋头过的路程最短？6、质量为m的钢球，自高度为h处由静止竖直下落到板上，若阻力f的大小恒定，与钢板相碰时无机械能损失，求小球从静止开始下落到静止所通过的全部路程。7、在一个闭合电路中，电源的电动势为E，内电阻为r，当外电路的电阻为R1时电路中的电流强度为I1，电源的输出功率为P，当外电路的电阻为R2时，电路中的电流强度为I2，电源的输出功率仍为P，则下列结论正确的是：A）R1R2=r2 B)R1+R2= C)I1I2= D)I1+I2=8、有一电容器，在带了电量Q后，两导体间的电势差为u ,如果使的带电量增加4.010-8C, 两导体间的电势差就增大20V。这个电容器的电容是多少F?4
