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1、第二章 轴向拉伸和压缩 知识要点1.轴向拉伸(压缩)的力学模型构件特征构件为等截面直杆。受力特征外力或外力的合力作用线与构件的轴线重合。变形特征杆件轴线在受力后均匀伸长(缩短)，即杆件两横截面沿杆轴线方向产生相对的平行移动。2轴向拉伸(压缩)时，横截面上的内力轴力(1)内力的定义 由外力作用引起的构件内部相互之间的作用力。(2)截面法 截面法是求内力的一般方法。在需求内力的截面处，用一假想平面，沿该截面将杆件截开，取其一部分，将弃去部分对留下部分的作用，代之以内力，然后考虑留下部分的平衡，由平衡条件求出该截面上的未知力。(3)轴力 轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以表示，沿杆件轴线方向。(4
2、)轴力的正负号规定 以拉力为正，压力为负。(5)轴力图 表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化规律的图线。3轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力(1)应力的定义由外力作用所引起的内力密度。(2)应力的特征应力被定义在物体的假想平面或边界上的一点处。应力的量纲为单位面积上的力，应力的单位为，或记做Pa(3)轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力应力分布规律：对于等截面直杆，正应力在整个截面上均匀分布计算公式： 4轴向拉伸(压缩)时，斜截面上的应力(1)斜截面上的应力正应力 切应力 (2)最大、最小应力 ， ， 5。轴向拉伸(压缩)时的强度低碳钢的静拉伸试验弹性变形与塑性变形a弹性变形：解除外力后，能完全消
3、失的变形。b塑性变形：解除外力后，不能消失的永久变形。变形的四个阶段弹性变形阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。力学性能指标a. 强度指标：比例极限-应力和应变成正比时的最高应力值弹性极限-只产生弹性变形的最高应力值。屈服极限-应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值。强度极限-材料在断裂前所能承受的最大应力值。 b弹性指标：弹性模量E= c塑性指标：延伸率 截面收缩率 d冷作硬化：材料经过预拉至强化阶段，卸载之后，再受拉力时,呈现比例极限提高，塑性降低的现象。 (2)轴向拉伸(压缩)时的强度条件构件的最大应力不得超过材料的许用应力 许用应力是材料容许承受的最大工作应力 强度计算的三类问题
4、 强度较核 截面设计 许用荷载计算 (由计算) 6轴向拉伸(压缩)时的变形与位移 (1)变形的定义 受力物体形状改变时,两点之间线距离或两正交直线之间夹角的改变，前者称为线变形，后者称为角变形。 (2)轴向拉(压)时的变形 纵向变形 纵向应变 胡克定律 或 胡克定律的适用条件.应力不超过材料的比例极限，即材料处于弹性范围；.在计算的长度范围内，,均为常数。横向变形 横向应变 泊松比 ,恒为负值 位移的计算 受力物体形状改变时，相对于某参考坐标系，线距离，或一线段方向改变的角度，物体上一点位置改变的直线距离，或一线段方向改变的角度。 位移的计算 选取参考坐标系。计算杆件的变形量。根据变形的相容性
5、(变形相容的条件)作位移图(或结构的变形图),由位移的几何关系计算位移值。 习题详解1 试求下图所示各杆11和22横截面上的轴力，并作轴力图。 解 如图所示。解除约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号。轴力图是平行于杆轴线的直线。轴力图线在有轴向力作用处，要发生突变，突变量等于该处作用力的数值。对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题图所示。截面1和截面2上的轴力分别为和 。解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图、所
6、示。截面1和截面2上的轴力分别为 ， 解题步骤与相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。2 试求题图所示等直杆横截面11、22和33上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，试求各横截面上的应力。 解 如图所示。首先解除杆的约束，代之以约束反力，利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。然后作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号，凡与外法线指向一致的力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴的直线，在有轴向外力作用处，轴力图将
7、发生突变，对应于正的外力，轴力图将向上跳，对应于负的外力，轴力图将下跌，上跳或下跌的量，等于对应的外力数值。轴力图如图所示。截面1上的轴力，截面2上的轴力。各横截面上的应力分别为 3 试求图所示阶梯状直杆横截面l1、22和33上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，并求各横截面上的应力。 解 如图所示。首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号：凡指向与外法线的正向相同者，标以正号，反之标以负号，如图所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突
8、变，突变量等于对应处的外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上跳和下跌量与对应的外力数值相等，如图所示。由轴力图可知，截面1-1上的轴力，截面2-2上的轴力，截面3-3上的轴力。 各截面上的应力分别为4 如图所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。试求拉杆和横截面上的应力。解 作受力图解除图所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图，如图所示 求支座反力 利用静力学平衡原理， ， ， 及可得 ， (3)计算拉杆的轴力取半个屋架为研究对象，作受力图，如
9、图所示，由静力学平衡方程， 及，得 计算拉杆的轴力取铰接点 为研究对象，作受力图，如图所示，由静力学平衡方程 ， 及，得(5)计算拉杆和横截面上的应力查文献1中附录型钢表，等边角钢的截面积，所以拉杆和横截面上的应力5 石砌桥墩的墩身高 。其横截面尺寸如图所示。如荷载，材料的密度，试求墩身底部的横截面上的压应力。解 (1)计算桥墩自重由桥墩高，材料密度，横截面面积 可得桥墩自重 (2)计算桥墩底部截面上的轴力解除地面对桥墩的约束，代之以约束反力，如图所示，则桥墩的轴力等于约束反力，并有 (3)桥墩底部横截面上的压应力 （压）6 如图所示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹
10、角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。解 拉杆横截面上的正应力应用斜截面上的正应力和剪应力公式可得它们的方向被分别表示在图、和中。7 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积和材料的弹性模量。试作轴力图，并求杆端点的位移。 解 首先解除约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。再以杆左端的外法线为标准，将受力图中各外力标以正负号，凡与的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴线的直线，在有外力作用处，轴力图线发生突变，突变量等于对应外力的数值，对应于正号的外力，轴力图上
11、跳，对应于负号的外力，轴力图下跌，如图所示。根据轴力图，应用胡克定律，计算杆端的位移为 8 一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量。如不计柱的自重，试求： 作轴力图；(2)各段柱横截面上的应力；(3)各段柱的纵向线应变；(4)柱的总变形。 解 (1)作轴力图 解除处约束，代之以约束反力，应用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。以截面的外法线为标准，将受力图中各力标以正负号，凡是和的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号，自下向上画轴力图。轴力图是平行于木桩轴线的直线，在有外力作用处，将发生突变，突变量等于对应的外力数值，对应正
12、号的外力，轴力图向右突变，对应负 号的外力，轴力图向左突变，如图所示。 (2)计算各段柱横截面上的应力 。(3)计算各段柱的线应变 应用胡克定律，各段柱的线应变为 (4)计算柱的总变形 9 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。 解 解法一 应用胡克定律确定材料的弹性根据轴向拉伸杆的应力公式，杆横截面上的应力为 解法二 先计算杆的应力和应变再应用胡克定律确定材料的弹性模量E=10 (1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方向的线应变 (2)一根直径为的圆截面杆，在轴向拉力作用下，直径减小，如材料的弹性横量，泊松比，试
13、求轴向拉力(3)空心圆截面钢杆，外直径，内直径，材料的松比。当其受轴向拉伸时，已知纵向线应变，试求其壁厚。解 (1)设圆截面的直径为，则其周长，在轴向力作用下，其径向线应变为周向线应变为 所以，证明了径向线应变等于周向线应变，即 由波松比的定义及，可得 应用胡克定律可确定圆截面上的应力 所以，轴向拉力 (3)由纵向线应变和泊松比可计算出径向线应变 受拉伸后，空心圆截面的内、外直径分别变为所以，变形后的壁厚 11受轴向拉力作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数，试求与两点的距离改变量。解 解法一 变形前，两点间的距离为横截面上的应力 杆的纵向应变 杆的横向应变 变形后变为，变为，与两点间的距离 变形后之间距离改变量解法二 变形前两点间的距离为横截面上的正应力 杆的纵向应变
