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1、期中测试（下）班级： 姓名： 学号： 分数： 一、填空题（20分）1、计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得近似值为 0.4268 ，用辛普森公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精度为 1 ，辛普森公式的代数精度为 3 。2、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有 5 次代数精度。3、求积公式的代数精度以 Gauss型 求积公式为最高，具有 2n+1 次代数精度。4、数值积分公式的代数精度为 2 。5、求解一阶常微分方程初值问题的改进欧拉公式为，是 2 阶方法。二、选择题（6分）1、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值
2、 C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 2、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入3、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差 C防止计算时溢出 D 简化计算4、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( A )；中心欧拉法的局部截断误差是( B )；改进欧拉法的局部截断误差是( B )；四阶龙格库塔法的局部截断误差是( D ) A. B. C. D. 三、计算题（64分）1、（10分）试分别推导复化梯形和复化辛普森求积公式。证明：以积分为例。将积分区间做等分，步长。（一）复化梯形求积公式在区间内
3、应用梯形公式得： 从而有；故 （二）复化辛普森求积公式在区间内应用辛普森公式得： 从而有此时，故将带入上式可得2、(10分) 求A、B使求积公式的代数精度尽量高, 并求其代数精度；利用此公式求 (保留4位小数)。解：是精确成立，即 得求积公式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。 3、(12分) 取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111 (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： =0.8687 （
4、2）复化辛普森公式（n=2,h=2/2=1）： =0.86204、(12分) 用龙贝格方法计算积分的近似值（误差满足，保留4位小数）。解：T = 0.7468R = 0.6839 0 0 0.7314 0.7472 0 0.7430 0.7469 0.7468 5、(20分) 对于一阶微分方程初值问题，取步长，分别用Euler预报校正法和经典的四阶龙格-库塔法求的近似值。（在用经典的四阶龙格库塔法求解时请写出的表达式及值）解：Euler预报校正法 经典的四阶龙格库塔法 ()四、选做题（10分）用显式欧拉方法求在点处的近似值（取步长h=0.1）。解：等价于 ()记,取则由欧拉公式, 可得 0.4717五、(6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6分)，n=0,1,2, 对任意的初值,迭代公式都收敛。一、 用龙贝格求积公式计算积分的近似值，要求收敛精度
