《2010年中考数学中的存在性问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年中考数学中的存在性问题.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010年中考数学中的存在性问题一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般是“是否存在，如果存在，请求出（或请证明）；如果不存在，请说明理由”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题存在性问题探索的方向是明确的探索的结果有两种：一种是存在：另
2、一种是不存在直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主
3、要方法。这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。 例1、(2010年陕西卷)问题探究 (1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的
4、直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由解析：（1）如图（2）如图连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。（3）如图存在直线l。过点D的直线只要作 DAOB与点A ，则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心。过点P的直线只要平分DOA的面积即可。易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积,即直线 PH为所求直线l.设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2).2=4k+b 即b=24k.y=kx+24k直线OD的表达式为y=2x 解之
5、点H的坐标为（，）PH与线段AD的交点F（2,22k）,022k4,1k1 SDHF=解之，得。（舍去） b=8直线l的表达式为y=（2）否定型存在性问题反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更经常地使用反证法。例2、(2010年安徽卷)如图，已知，相似比为k（k1），且的三边长分别为a、b、c（abc），的三边长分别为、.（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.解析:（1）证：
6、，且相似比为又（2）取此时且（3）不存在这样的和.理由如下：若则 又， ，而故不存在这样的和，使得（3）讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。例3、(2010年重庆市江津区卷)如图，抛物线与轴交于两点A（1，0），B（1，0），与轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN轴于点N，使以A、M、
7、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 解析：（1）把A B代入得：解得： （2）令，得 OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC = BDCA， ABD=BAC 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形。令 ，则 ，点D在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） DE=四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE (3)存在这样的点MABC=ABD= DBC= MN轴于点N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC= 在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMN CDB时，有 即
8、解得：（舍去） 则() 当AMN DCB时，有 即 解得（舍去） （舍去） 点M在轴右侧时，则 () 当AMN DCB时，有 解得（舍去） () 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） M点的坐标为2、定量分类（1）数值存在性问题例4、（2010年舟山卷)ABC中，A=B=30，AB=把ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，ABC可以绕点O作任意角度的旋转(1)当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2)如果抛物线(a0)的对称轴经过点C，请你探究：当，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；OyxCBA11-1-1设b=-2am，是否存在这样的m
9、的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由（2）定值存在性问题例5、（2010年咸宁卷）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当时，求线段的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由
10、ABCDABCDQABCDlMPE（3）极值存在性问题例6、（2010年莆田卷）如图，矩形ABCD (点A在第一象限)与x轴的正半轴相交于M,，与y的负半轴相交于N，ABx轴，反比例函数y=的图象过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F。(1)若B（-3，3），直线AC的解析式为y=.求a的值；连结OA、OC，若OAC的面积记为S，ABC的面积记为S，记S= SS，问S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由(2)AE与CF是否相等？请证明你的结论。（4）点存在性问题例7、（湘潭）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线过A、C、
11、O三点(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（5）直线存在性问题例8、（2010年扬州卷）在ABC中，C90，AC3，BC4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与ABC的直角边相交于点F，设AEx，AEF的面积为y（1）求线段AD的长；（2）若EFAB，当点E在线段AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；ABCDABC
12、D备用图（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由（6）三角形存在性问题例9、（2010年红河卷）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s.（1）求OAB的度数.（2）以
13、OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.（7）平行四边形存在性问题例10、（2010年遵义卷）如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由（8）圆存在性问题例11、(2010年成都卷)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设Q径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？
